CHAPITRE Yl. i

d'une Dature particulière, dits isolés, et qu'en cet état il est impossible de comprendre^ on n'en a pas agi de même pour d'autres cas d'impossibilité et pour les oi>érations qui s'y rapportent. Les nombres qu'on prétend devoir être considérés isolément ne sont guère que ceux qui résultent de leur association avec l'opération soustractive, oul'opération imaginaire ; quantàceux qui répondent à leur association^ soit avec une division^ soit avec une extraction de racinesimpossibles, on se tient pour trèssatisfait à leur égards on n'a pas proclamé qu'ils étaient incompréhensibles^ on n'a nullement songé à leur infliger le stigmate de l'isolement. D'où vient cette distinction? On aurait de la peine à se l'expliquer en théorie^ et on ne comprend pas en vertu de quel privilège^ on n'agirait pas de la même manière pour des circonstances qui, les unes et les autres^ sont des indices d'impossibilité. Pourquoi voudrait-on faire un seul tout du nombre avec l'attribut négatif, et n'en ferait-on pas un du nombre avec l'attribut fractionnaire ? Le nombre abstrait^ nécessairement entier^ serait-il plus facile à comprendre lorsqu'on le force à ne pas être entier^ que lorsqu'on lui attribue le signe de la soustraction? C'est bien certainement, et nous nous ep convaincrons tout à l'heure, le contraire qui a lieu. Singulières questions auxquelles il serait difficile de répondre si l'on vou* lait se confiner dans le champ de la- théorie! Hais parce qu'en fait, dans l'algèbre abstraite où l'on n'opère que sur le nombre à unité indivisible, le choix des applications est fort limité^ et que d'ailleurs la science ne s'est pas formée tout d'une pièce, et suivant la marche rationnelle qui pourra être donnée un jour à son exposition, il en est résulté que la séparation de l'abstrait et du concret n'a jamais été faite, que les deux points de vue ont été confondus, et qu'insensiblement on a été entraîné, même sans s'en apercevoir, à attribuer au nombre, lorsqu'il est abstrait^ les facilités do réalisation qui se rencontrent dans les considérations concrètes. Or c'est en abondance que dans ces dernières vient figurer l'dttribut de la continuité qui nous permet de considérer les quantités qui en jouissent coumie divisibles en telles et tant de parties qu'on voudra. De là, comme nous l'expliquerons dans la seconde partie, la possibilité d'etTectuer sur ces quantités toutes les divisions et toutes les extractions de racines. Les quantités ainsi

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douées se rencontrent si fréquemment dans les questions que nous avons à traiter (les longueurs, les surfaces, les volumes^ les forces, les vitesses^ le temps sont dans ce cas), et nous avons si souvent réalisé avec elles toutes sortes de divisions et d'extractions de racines, que nous nous sommes habitué à ne plus considérer cesopérationscommedesenipêchements, sice n'est dans de très-rares circonstances. Telle a été la réaction nécessaire, quoique irréfléchie et inconsciente, du concret sur l'abstrait.

Il n'en a pas été de même à beaucoup près du négatif et de l'imaginaire. L'attribut qui leur correspond, outre qu^il est plus rare à trouver dans les quantités, a été reconnu et constaté beaucoup plus tard que celui de la continuité. Il y a même aujourd'hui un assez grand nombre d'esprits qui sont encore loin d'être familiarisés avec cet ordre de considérations; et cependant, chose fort digne de remarque, nous ferons voir bientôt que, tout au moins, nous avions l'attribut négatif sous la main avec le nombre abstrait. L'usage a donc manqué dans cette circonstance, la réaction du concret sur l'abstrait a été nulle sur ce point, et de là les doutes, les obscurités, le manque de compréhension , qui ont persisté et ont conduit à l'inconcevable conception des nombres ou quantités^ dits isolés.

Qu'on ne s'imagine pas d'ailleurs qu'au sujet de cette incroyable idée de Tisolement nous nous laissons aller à l'exagération, et que nous cherchons à assombrir à plaisir les teintes déjà trop sombres du tableau que nous en faisons.

Nous lisons dans un ouvrage d'ailleurs très-estimé et qui mérite de l'être à beaucoup dëgards:

a II ne faut pas voir, dit l'auteur, dans les moyens commodes a de renfermer toutes les formules duns une seule, de véritaa blës opérations «sur des quanlités négatives isolées ; opéra- « lions dont on a souvent démontré les règles, soit en les a rattachant vicieusement à celles des polynômes, soit en « cherchant à donner une existence à ces êtres fantastiques. 9

Certes, si nous admettions l'étrange système de l'isolement, nous serions de lavis de ceux qui disent :

a Toute démonstration sur les quantités négatives isolées ne a peut être qu'une illusion, puisqu'il n'y a aucun sens à attacher

GBAPITRE VI. 114

(L à des opérations arithmétiques sur des choses qui ne sont « pas des nombres et n'ont aucune existence réelle. »

Non^ sans doute, ce ne son t pas des nombres seulement, mais, à moins de ne pas savoir lire, il faudra bien confesser à coup sûr que ce sont des nombres et des opérations. Dès lors, les opérations de Tarithmétique exécutées sur ces sortes de choses sont certainement ce qu'il y a de plus usuel et de plus compréhensible dans la science. L'essentiel sera de les interpréter sainement et de les bien prendre pour ce qu'elles sont. Quant à Texistence, comment la leur refuser alors qu'à tout instant l'algèbre donne naissance à des expressions de la forme — a?Or qu'elles existent comme conséquence des calculs ou par TefiTet de notre volonté^ elles n'en sont pas moins la représentation d'une association de deux choses qui, si l'on n'en veut pas faire un tout isolé, si on les considère séparément l'une de l'autre^ sont parfaitement définies, parfaitement comprises dans leurs fonctions respectives^ sur lesquelles^ par conséquent, les opérations de l'algèbre pourront avoir un sens et produiront certains effets que le raisonnement nous fera découvrir.

Mais ce qui nous étonne, c'est que ceux qui professent une telle opinion puissent se livrer avec quelque intérêt aux recherches algébriques^ car nous nous demandons quelle idée il leur est possible de se faire d'une algèbre dont l'objectif n'est pas le nombre et dont les règles, à coup sûr les plus importantes, ne sont démontrées qu'à l'état d'illusion. 11 faut que la foi soit bien robuste chez ceux qui n'hésitent pas à faire de la voltige sur une corde qui n'en est pas une, qui n'aurait même aucune existence réelle, et dont les points d'appui seraient des illusions.

Mais passons, et constatons que le plus clair de tout ceci est, au |X)int de vue du fait tout au moins, la condamnation la plus péremptoire du fameux principe dePisolement. Que penser en effet d'un obstacle qui n'empêche pas même les esprits les plus ombrageux d'aller en avant ?

Quant à nous, nous n'hésitons pas à le dire, le seul énoncé de ce principe est un monstrueux abus de la parole, et l'idée de le prendre en considération est un abus non moins monstrueux de la pensée.

Or retournons l'un et l'autre, et affirmons : quant aux mots,

H 2 DE l'aBSTB ACTION EN ALGÈBRE.

que là où Ton dit isolement il faut dire association; quant à la pensée, que là où l'on veut procéder par la voie de la combinaison qui unifie, il faut au contraire procéder par la voie de la distinction qui dualise.

Sans doute, si l'on ne s'en rapporte qu'aux apparences, lorsqu'on s'est trouvé en présence d'un résultat de la forme — a, il y avait deux partis à prendre : ou bien unifier la réponse et considérer, comme on Ta fait, ( — a) isolément ; ou bien la dualiser et considérer — a comme l'indication qu'il faudra faire usage de a par voie de soustraction. En principe et en théorie, par suite de certains entraînements que nous allons expliquer, c'est la première résolution qu'on a adoptée ; mais, en fait et dans la pratique, c*est toujours en vertu de la seconde qu'on agit, tout en croyant cependant respecter le principe: situation qui s'expliquerait difficilement si; d'une part, on ne connaissait la puissance du préjugé, du parti pris, de la simple habitude, si l'on veut ; si, d'autre part, on ne savait que, quoi qu'on fasse, la vérité finit toujours par s'imposer.

Cependant, si l'on consulte l'algèbre, si l'on se rend compte de son mécanisme et de sa marche lorsqu'elle est appelée à résoudre une question, on est toujours conduit, ainsi que cela résulte de ce que nous avons développé à ce sujet, à reconnaître qu'à un ensemble de nombres et d'opérations elle ne peut faire autre chose que de substituer un ensemble équivalent, et que par conséquent ce sont toujours ces deux choses, nombres et opérations, qu'il faut voir dans ses réponses, chacune avec ses propriétés et ses fonctions spéciales.

A moins donc qu'il ne fût bien démontré qu'on a introduit soit dans les prémisses, soit dans le cours des raisonnements^ quelque chose qui fût semblable à cet être complexe qu'on appelle nombre isolé , c'est-à-dire quelque chose qu'on affirme n'avoir pas d'existence, il n'est pas possible que Talgèbre nous donne à la fin des calculs ce qui ne s'y trouve nulle part. Quant aux nombres et aux opérations considérés séparément, c'est bien différeiît, car c'est nous qui introduisons les premiers, et les secondes sont les moyens mêmes de l'algèbre. Tel est donc le véritable état sous lequel ils figurent et sous lequel nous devons les voir dans tout calcul algébrique.