CHAPITRE VI

Toutefois^ lorsque des croyances deviennent aussi générales que celles que nous combattons en ce moment^ nous devons voir dans ce fait l'indice d'une cause qui a exercé une grande influence sur les esprits, et, précisément parce que cette cause a conduit à l'erreur^ il y a intérêt à la connaître.

Nous avons déjà expliqué que la science ne s'étant pas faite avec la régularité de la méthode suivant laquelle il convient de la comprendre et de Texposer, le concret s'est souvent confondu avec Tabstrait. Nous avons ajouté que l'attribut de continuité^ dont jouissent tant de quantité», ayant rendu possibles^ dans le plus grand nombre de cas, soit des divisions soit des extractions de racines impossibles pour le nombre abstrait, nous nous sommes de plus en plus familiarisés avec les formes fractionnaires et avec les formes radicales, réductibles ellesmêmes à Fétat fractionnaire^ sinon fini^ du moins approché, à tel point que nous n'avons plus considéré ces formes que comme des empêchements tout à fait accidentels, et que^ si l'idée de leur appliquer le principe de l'isolement s'est présentée momentanément à l'esprit, elle a dû être promptement abandonnée^ sous l'influence d'une pratique qui les voyait se réaliser presque toujours.

Il est résulté de là, grâce à ce principe de la continuité^ que toutes les opérations pouvant s'exécuter et nous conduisant constanunent soit à un nombre entier, soit à un nombre fractionnaire^ nous nous sommes de plus en plus imbus de cette idée que la réponse à une question devait toujours être un nombre de l'une ou de Tautre espèce et ne devait pas être autre chose. La possibilité des opérations étant ainsi un état normal^ et la trace apparente de celles ci s'eifaçant successivement par le fait de leur exécution jusqu'à s'évanouir complètement dans le résultat finaU l'importance des considérations théoriques qui s'y rattachent s'est amoindrie^ a fini par disparaître^ et nous en sommes arrivés à ce point de ne vouloir plus admettre que le nombre^ et toujours le nombre, comme réponse à une question. Âussi^ grand a été l'embarras, lorsqu'avec le nombre se sont présentés des signes d'opérations que le principe de continuité ne suffisait plus à expliquer, et que

lu DE l'abstraction EN ALGÈBRE.

Tabsence ou l'ignorance de tout atlribut qui leur fût équivalent dans les quantités a naturellement laissés persistants. C'est alors qu^accoutumés à ne voir que le nombre et ne voulant Yoir que lui dans les solutions^ le contredit résultant de formes autres que le nombre est devenu la cause des plus inextricables difficultés^ et qu'on en est venu à se demander quelle

espèce de nombre pouvaient être ( — a), (a V--ï); formant ainsi un tout collectif de chacune de ces expressions^ et créant des êtres indéfinissables et incompris auxquels on a dû refuser l'existence après la leur avoir mentalement donnée.

Telle est la filière par laquelle, de confusions en confusions^ on est arrivé à ces choses qu'il nous est en vérité impossible de qualifier, sur lesquelles^ on le déclare, les opérations de calculs n'ont aucun sens, qui sont le néant, qui sont des fantômes, etc.^ etc. , et dont cependant on se sert tous les jours.

Tâchons maintenant de mettre un peu d'ordre dans cette étrange confusion d'idées.

Le nombre, nous l'avons dit^ est le représentant des divers états dans lesquels peut se trouver la pluralité^ et nous avons fait remarquer que son unité est indivisible. Hais si cet atlribut de la division est antipathique à la conception du nombre^ il n'en est pas de même d'autres attributs ou fonctions qui peuvent lui être dévolus. Ainsi, étant donné un certain nombre d'unités a, il ne répugne nullement à ma raison, il peut lui agréer au contraire, que ces unités soient considérées comme jouissant tantôt de la faculté d'être augmentatives, tantôt de celle d'être diminutives. On conçoit même que c'est là un ordre de considérations qui, dans la pratique, pourra avoir son utilité. Or, pour ne pas confondre le mode d'action des unes avec le mode d'action des autres, il sera nécessaire de les distinguer par des signes particuliers. Si l'on convenait à cet effet d*adopter l'indice a pour le premier mode, et l'indice 8 pour le second, la représentation se ferait par a^ dans un cas, par

a^ dans l'autre.

Gela posé, si l'on écriten regard les trois formesa, r^, a^, la

CnAPITRG YI. lis

première voudra dire qu'on considère a au point de vue unique de la pluralité qu'il représente; les secondes qu'à ce premier, point de vue vient s'en joindre un deuxième qui concernera les fonctions qu'on entend attribuer à ces pluralités^ savoir : que dans a^ les unités a seront augraentatives^ dans a^ elles

seront diminutives.

Ce premier aperçu suffit pour faire comprendre combien serait fausse l'idée que le nombre est essentiellement augmentatif. La seule chose essentielle qui appartienne à la conceptien du nombre^ c'est qu'il doit être toujours entier; quant au reste^ comme ce sont des fonctions qu'on veut faire remplir au nombre^ il n'y a évidemment aucun motif d'attribuer une prépondérance à l'une sur l'autre ; dans tous les cas, cette prépondérance, si elle devait exister^ affecterait uniquement l'idée de fonction et ne saurait en rien intéresser la nature du nombre ; pas plus^ par exemple^ que les fonctions que remplit Teau quand elle entre dans un vase ou qu'elle en sort n'intéressent la constitution intime de ce liquide.

Or^ il est évident que l'objet de l'opération arithmétique appelée addition étant de produire l'augmentation, et celui de la soustraction étant de produire la diminution, il y a non-seulement analogie, mais équivalence complète entre ces deux opérations et les deux attributs que nous considérons ici. Nous sommes en conséquence autorisé à dire que la fonction augmentative doit être représentée par le signe de l'addition qui viendra se substituer à l'indice a, que la fonction diminutive lésera par celui de la soustraction qui, à son tour, viendra se substituer à l'indice ^; et la réciproque sera vraie, puisque^ nous le répétons, les choses sont tellement définies qu'il y a équivalence entre les effets produits, d'un côté, par les signes d'opération , de l'autre^ par les fonctions que les nombres ont à remplir.

On comprendra sans peine maintenant que si — â, au lieil d'être cette combinaison mystérieuse qu'en voudrait faire l'isolement, est la double indication d'un nombre et d'une opération^ si ~a veut dire tout simplement qjie la collection des

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a unités doit remplir la fonction d'être diminutive^ de devoir être employée par voie de soustraction^ non-seulement — a *sera une chose compréhensible , elle sera en outre trèsmathématique; il n'y aura donc plus alors aucune illusion à chercher à démontrer quel pourra êlre le sens des opérations arithmétiques sur des choses arithmétiques elles-mêmes et dont Texistence^ cette fois très-réelle^ est parfaitement définie.

Or si — a doit être considéré comme remplissant la fonction de provoquer la diminution de a unités lorsque je viendrai l'adjoindre à un nombre^ il en résultera nécessairement que ce nombre sera diminué de a unités; si^ au contraire, je soustrais—a à un nombre, ce sera, d'après la définition de-7-a, soustraire à ce nombre une chose qui le diminue de a unités, et ce sera par conséquent l'augmenter d'autant.

Voilà donc toute la règle des signes pour l'addition et pour la soustraction ramenée à cette conception que tout le monde comprendra sans grands efforts, même les plus ignorants en mathématiques, car elle a été vulgarisée dans le public par ces sortes de sentences : que gagner une perte, c'est perdre ; que la perdre, c'est gagner.

Que s'il arrive, lorsque j'adjoins — a à un nombre, que les unités de a sont supérieures à celles de ce nombre, il me restera encore quelques unités négatives; mais cela n'est pas plus incompréhensible que lorsque le résultat de l'opération donne des unités positives: cela indiquera simplement que les premières conserveront la mission d'être diminutives, que les secondes auront celle d'être augmentalives; et que, dans les divers usages qu'on pourra avoir à en faire, il faudra les employer avec le caractère diminutif ou augmentatif qui appartient aux unes ou aux autres. Or est-ce que l'un de ces caractères répugne plus à la raison que Tautre ? Est-ce que l'usage du nombre dans le premier cas est plus difficile à concevoir que dans le second ? Est-ce que ces deux fonctions, au point de vue du concept, ne sont pas de même ordre? Quant aux embarras ultérieurs que, d'après certaines habitudes prises, on serait disposé à attribuer à l'une plutôt qu'à l'autre de ces formes, ils existent au même degré pour chacune; par exemple, si après avoir écrit œ + a=zb, h forme diminutive pour x est inconci-

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liable avec rbypothèse que 6 est plus grand que a, la forme augmentative ne le sera pas moins lorsque 6 sera plus petit que a. •

Ce qu'il y a donc de vrai, c'est que ces deux formes ne sont pas plus exclusives de compréhension l'une que Tautre. A chacune ses facilités de réalisation, comme ses empêchements ; à chacune ses usages. Or dès Tinstant que Tusage est accepté par la raison et défini, la chose qui en fournit l'indication est nécessairement com4>rise. Ce sera ensuite à nous à l'employer convenablement suivant les circonstances.

Mais, a-t-on dit, si je n'ai pas à l'employer ? Singulière question en vérité; que voulez- vous que j'y réponde, sinon que si vous n'avez pas à l'employer, vous ne l'emploierez pas. Ne dirait-on pas que, parce qu'une chose porte Tindication de l'usage qu'il en faudra faire, il faut nécessairement que cet usage soit fait, sans quoi la chose devient un être fantastique? Mais où donc l'algèbre et la raison ont-elles imposé une (elle condition ? Demandez au père de famille prudent et économe s'il considère comme fantastique, tant qu'il ne s'en sert pas, la pièce de métal frappée de l'empreinte qui indique son usage ; demandez au savant si les livres qu'il met dans sa bibliothèque n'ont aucune existence réelle pendant qu'il ne les lit pas; essayez de prouver aux hommes que des mets qu'on a fait cuire pour les mettre à Tusage de nous alimenter sont quelque chose d'incompréhensible tant qu'on ne les mange pas ; certains estomacs vous répondront qu'au contraire ce sont là des objets qu'on comprend beaucoup mieux quand ils sont cuits que quand ils ne le sont pas; voyez-vous le pharmacien, qui collige et étiquette des préparations, entouré clans son officine de bocaux chimériques et privés sur leurs rayons d'existence réelle, mais qui reviennent à la vie et à la réalité, aussitôt que l'ordonnance du médecin vient lui prescrire d'en faire usage !

Tout cela est-il bien sérieux ? On serait tenté de croire que non, et cependant ce ne l'est que trop. N'a-t-on pas, en effet, prétendu et écrit « qu'il n'y aurait aucun sens à attacher

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<c même à une expression de quantité positive isolée^ car que a signiQerait le signe + niis devant une quantité qui ne dea vrait être ajoutée à aucune autre? »

H faut que le mot isolé soit bien gros de tempêtes pour conduire Tesprit à de telles conclusipns. Hais, s'il en est ainsi, hâtons-nous, pour éclairer toutes nos notions sur Télectricité^ de la débarrasser de ces deux non-sens que lui infligent les signes + et — , de ces deux isolateurs qui ne peuvent qu'en obscurcir la conception ; peut-être alors pourrons-nous Toir à l'œil nu le fluide mystérieux. Refusons également d'accorder, en géométrie analytique, aucune intelligence aux coordonnées positives et négatives : que pourraient-elles, en eflet, signifier dès l'abord et en elles-mêmes en l'absence d'une addition et d'une soustraction actuelles? Supprimons enfin dans la trigonométrie les signes de ces arcs qui, pour être compris, devraient tout au moins figurer dans une addition et une soustraction, et qu'on n'ajoute ni ne retranche lorsqu'on veut donner la définition des lignes trigonométriques.

Si vous n'avez pas à employer, dites-vous ? mais c'est là une pure hypothèse qu'il faudrait justifier avant tout; oi: faitesnous voir une seule circonstance dans laquelle, en dehors de la fantaisie, vous n'aurez pas à faire usage soit des expressions que certaines études vous auront amené à considérer, soit de celles qui formeront une des réponses de l'algèbre ?

Seriez-vous donc ainsi fait, qu'à votre avis, l'une des fonctions de notre raison serait de s'ingénier à constituer des formes dont elle ne doit pas se servir et à provoquer des réponses dont elle ne fera aucun usage? Si telle est en effet votre manière de voir, résolvez équations sur équations; mais gardezvous de toucher aux racines : celles-ci ne sont faites que pour être mystiquement contemplées et vous donner de platoniques satisfactions ou d'incompréhensibles douleurs. Extasiez-vous et ouvrez tous les trésors de votre intelligence à la vue d'un nombre entier et même fractionnaire, mais voilez-vous la face et obscurcissez à plaisir votre pensée en présence d'un résultat négatif et même positif. Seulement, soyez bien convaincu que tant que vous voudrez vous maintenir dans cette situation, les choses de ce monde ne seront nullement intéressées à ce que des racines dont on ne doit pas se servir soient comprises ou