CHAPITRE VI

incomprises; car si rintelligence des objets nous intéresse, c*cst par les services qu'ils nous rendent. Hais là où il serait bien constaté qu'il ne peut y avoir aucune utilité^ quel autre sentiment pourrions-nous avoir que celui d*une complète indifférence ?

Que si, au contraire^ les formes que nous introduisons dans nos recherches ont une mission que nous croyons toujours utile, si les réponses aux questions sont faites pour nous apprendre comment avec elles il sera possible d'arriver à un but que nous poursuivons, nous aurons un intérêt évident à ne pas rester dans Tincompréhension à leur égard^ à nous éclairer sur leur véritable signification, à connaître dans tous ses détails la manière dont nous devrons en faire usage.

Quant à ces usages, il ne faudrait pas croire qu'il n'y en a qu'un, celui qui dans ±a est indiqué par le signe apparent de a; car dans toute question, dans toute recherche, dta sera combiné avec d'autres nombres, avec d'autres opérations qui en feront tour à tour un être actif et passif pouvant fonctionner d'un grand nombre de manières. «

Or ce qu'il faut bien remarquer, c'est que dans les divers usages qu'on fait d'une chose déjà caractérisée par certains attributs, l'influence de ces attributs se fera nécessairement sentir sur les résultats obtenus; il sera par conséquent indispensable de se rendre un compte exact de cette influence. Par exemple, un voile coloré employé pour recouvrir des objets leur communiquera l'impression de sa nuance ; de Teau chaude, tout en produisant d'autres effets que celui de chauffer, communiquera du calorique aux corps avec lesquels elle sera en contact. Ainsi, dans chaque cas, l'effet total est une combinaison de l'attribut primitif avec Tusage actuel qu'on fait de la chose. 11 en sera de même de +a; le caractère de + a étant d'être augmentatif, celui de — a d'être diminutif, nous devrons, en employant Tun et l'autre, lui conserver son caractère. Ce que nous aurons à rechercher consistera donc à reconnaître comment ces attributs seront appelés à intervenir dans les résultats des nouvelles opérations auxquelles nous voulons soumettre + aei — a. Ceci nous ramène à notre sujet, et nous avons déjà vu comment les attributs en question fonctionnent dans les deux premières opérations de l'arithmétique.

i20 DE l'abstraction EN ALGÈBRE.

Passons maintenant à ce qui concerne la multiplication. La recherche de ce qui va se passer dans cette opération ne présente pas plus de difficulté que celle relative aux opérations précédentes, et Tintelligence des résultats n'y est pas moins apparente. Si — a doit être multiplié par b, comme — a est un nombre a d'unités qui possède Tatlribut diminutif leur répétition par b me donnera ab de ces unités ayant même attribut, même fonction à remplir; j'indiquerai donc cette fonction par le signe naturel qui lui convient en arithmétique, qui est celui dé la soustraction, etj'aucai pour résultat — afr. Si j'ai à multiplier a par — b, cela voudra dire que les unités de 6 ont deux rôles à remplir : d'abord celui de répéter a, ce qui donnera abj en second lieu celui de faire cette répétition ep imprimant à celle-ci le caractère qu'il porte lui-même^ celui de la diminution, le résultat ne pourra donc être que — ab.

Enfln, si je dois multiplier — a par — b, on remarquera que si b était positif, le résultat, d'après ce qui précède, serait — ab; mais parce que la répétition doit sefaire^ à cause de l'état diminutif) de b, sous la condition que les choses répétées vont devenir diminutives, nous serons conduit à nous demander ce qu'est la soustraction d'un nombre qyi porte déjà le caractère de la diminution; or c'est encore là, ainsi que nous venons de le voir, un cas du jeu de qui-perd-gagne, et nous serons ramené à ab.

Et maintenant, qu'on remarque bien la simplicité presque naïve de ces interprétations, et la suppression complète de toutes ces considérations si peu naturelles, si obscures, si inintelligibles de multiplications qui doivent se faire entre un nombre négatif isolé, et un autre nombre positif ou négatif lui-même.

En tant qu'il s'agira de multiplication, nous ne trouvons rien dans la définition de cette opération, rien dans la définition du nombre qui puisse nous diriger pour comprendre ce que peut être ± multiplié par ±, etune pareille question ne peut avoir pour cause et pour effet que l'égarement de l'intelligence. On multiplie des nombres, cela se conçoit et s'explique rationnellement. Hais multiplier des signes entre eux ! Où donc v a-t-ii