CHAPITRE Vr. iU

dans les principes de Talgèbre quelque chose qui de près ou de loin puisse, je ne dirai pas justifier une telle idée^ mais s'y r;ittacher? Au point de vue de l'opération multiple, it a multiplié par ± b, quels que soient les signes qu'on voudra adopter, donnera le même nombre d'unités a&, et il n'est pas possible de concevoir les choses autrement. Mais comme, en vertu même de l'algèbre, les nombres jouissent de la propriété d'avoir soit l'attribut additif, soit l'attribut soustractif, il faudra, lorsque les nombres seront employés dans les opérations, leur conserver les attributs qu'ils peuvent avoir les uns et les autres, et s'enquérir, à mesure que les opérations se font, du double effet qui se produira, soit au point de vue des conditions qui intéressent les pluralités proprement dites, soit au point de vue des fonctions qui leur sont attribuées et qui sont elles-mêmes représentées par des opérations.

C'est ce que nous venons de faire pour les premières règles de Tarithmétique.

Mais une fois que le résultat est théoriquement justiûé, une fois qu'on a bien constaté quelle doit être, en ce qui concerne ce résultat, l'influence distincte, soit des opérations exécutées sur les nombres, soit des considérations relatives aux attributs primitivement dévolus à ces nombres, on peut essayer de formuler des règles qui, sous une forme simple et concise, seront un résumé commode et usuel de la démonstration théorique. Par exemple, dans le cas actuel, je vois que, si au lieu de considérer les attributs augmentatif ou diminutif, comme représentés par le signe de l'addition ou de la soustraction, je les considère dans la multiplication comme des facteurs -f i et — i, je pourrai, après examen des conséquences préalablement constatées, ériger en règle que lorsque l'on multiplie des facteurs de signe contraire, le produit est négatif; que lorsque les facteurs sont de même signe, le produit est positif; je pourrai encore remarquer qu'une des conséquences des résultats obtenus est que rien ne s'oppose à ce qu'on puisse étendre aux signes la règle de Tinterversion de l'ordre des facteurs. Hais au point de vue rationnel, il ne faudra- voir dans ces manières de s'exprimer qu'un moyen commode, pour la pratique, de revêtir de l'apparence de la multiplication des choses qui, au fond, ne sont pas et ne peuvent pas être une multiplication.

122 DE l'abstbaction en algèbre.

Ces réserves faites, et le véritable sens qu'on doit attacher à chaque chose étant ainsi bien indiqué, noue ajouterons qu'il ne faudrait pas non plus se montrer dans un cas plus scrupuleux qu'on ne Ta été dans d'autres cas semblables^ et peut-être même plus anormaux que celui-ci. II a été trouvé commode^ en effet, de donner à Tidée primitive du nombre, et à celle des opérations qu'on exécute sur lui, des extensions qu'il serait impossible d'admettre en abstrait, mais qui sont parfaitement justifiables lorsqu'il s'agit de la représentation des quantités. La possibilité, bien constatée au préalable, d'effectuer toutes sortes de divisions sur certaines grandeurs nous a conduit à la considération du nombre fractionnaire et à celle d'opérations faites au moyen de ces nombres^ soit entre eux^ soit avec des nombres entiers, opérations qui ne sont pas^ à coup sûr, des multiplications dans le sens primitif de ce mot, et auxquelles on a cependant étendu le nom et l'idée de multiplication. Or lorsqu'on démontre les règles ordinaires de ces opérations, on ne fait pas autre chose que ce que nous venons de faire pour les nombres dits négatifs et positifs, et, si ce n'était une véritable prévention résultant d'habitudes prises depuis longtemps, il est bien certain qu'on ne devrait pas plus s'étonner dans un cas que dans l'autre de la manière dont on procède.

Si> en effets d'une part — a indique a unités qui jouissent de

l'attribut d'être diminutives, d'autre part ? indique a unités

qui possèdent celui d'entraîner la division par b; les unes et les autres devront donc, dans les opérations auxquelles elles seront soumises, conserver le caractère qui leur appartient, et voilà pourquoi, si je les multiplie par c, le produit ac qu'elles donnent l'une el l'autre devra porter l'indice de la diminution dans un cas, ce que j'écrirai — ac; et celui de la division par b

dans l'autre, ce que j'écrirai ^.. II y a une telle similitude de

chosesetde raisonnement dans ces deux circonstances, qu'on ne comprendrait pas pourquoi on refuserait à l'une ce qu'on admet