CHAPITRE VU. i

Sa présence n'affecle en rien l'idée de nombre, mais uniquement celle d'opération.

L'imaginaire est une opération algébrique indiquant une impossibilité d'une espèce particulière de satisfaire à une question avec du réel.

H est la conséquence obligée de l'introduction d'une impossibilité dansune demande; de plus cetledernière impossibilité,

pour correspondre avec celle de Timaginaire asj — i, consiste en ce que dans un énoncé le carré du nombre a est afTeclé d'un signe qui rend cette demande incompatible avec les propriétés des nombres réels.

. Par conséquent il nous sera toujours possible de savoir comment un énoncé doit être redressé pour que Timpossibilité finale disparaisse.

Voilà l'indication nette, précise, mathématique de ce qu'est Timaginaire et des services qu'il peut nous rendre. Sans doute cette indication ne réalise pas cette forme pour le nombre, mais elle rationalise sa conception; non-seulement elle nous débarrasse de ces considérations si répulsives au sujet de certains êtres qui, tout chimériques qu'on a voulu les faire, ne pouvaient pas être mis hors de cause, mais elle nous permet à la fois et de comprendre la présence de ces formes dans les calculs et d'expliquer les causes premières, nécessaires, logiques de cette présence. Nous verrons plus tard combien il devient facile avec ces explications d'obtenir pour certaines quantités la réalisation physique de la forme imaginaire.

Indépendamment de l'imaginaire, il y a aussi d'autres sortes d'impossibilités pour le nombre, par exemple : la forme fractionnaire et radicale, mais nous avons expliqué comment il résulte de l'habitude dans laquelle on est de confondre l'étude des quantités avec celle du nombre, qu'on s'est peu à peu familiarisé avec ces formes tout inconciliables qu'elles sont avec les propriétés du nombre. C'est un sujet que nous allons reprendre dans l'étude du concret. Quant au positif et au négatif, nous avons expliqué comment ils correspondent aux deux attributs qu'il nous est possible d'associer avec l'idée nombre, savoir celui d'être augmentatif et celui d'être diminutif, et celte considération nous a conduit fort simplement à la démonstration des règles des signes.

Après aToir ainsi passé en revue Tensenible des formes qui constituent le contingent de l'algèbre, nous avons remarqué que, s'ilen est quelques-unes propres à résoudre les questions proposées pour le nombre, il en est un plus grand nombre encore qui accusent des impossibilités de réalisation; de sorte que, si on voulait s'occuper exclusivement des premières, le recueil des propriétés relatives à l'algèbre du nombre abstrait se réduirait à fort peu de chose. Mais n'est-il pas naturel de se demander pourquoi on se bornerait à la seule étude du possible, et n'est-il pas évident que, si nous avon? intérêt à connaître ce qui concerne cette partie de la science, il nous importe aussi d'être renseignés sur ce qui ne se peut pas? N'avons-nous pas vu que la recherche des causes de ces empêchements est un moyen très-efficace de nous faire reconnaître et de redresser certaines erreurs de nos propositions? c'est là une fonction incontestablement utile. On a pu se convaincre, en outre, que c'est précisément parce qu'on n'était pas suffisamment entré dans cette voie qu'on a été conduit à introduire dans la science exacte par excellence les idées les plus inexactes, les plus singulières bizarreries sur des choses dont on fait usage continuel* lement malgré tous les interdits lancés contre leur compréhension.

Or, maintenant que nous savons que ces choses ne sont pas des empêchements pour notre raison, et qu'il ne faut plus les considérer que comme des entraves dans les moyens d'agir, n'y a-t-il pas lieu de se demander si ces entraves qui existent pour le nombre existeront pour toutes les quantités? Si la réponse à cette question doit être négative (et ce que nous savons déjà du fractionnaire nous autorise à dire qu'elle l'est du moins en partie), il devient évident qu'il y aura un incontestable intérêt à étudier toutes les formes de rapports possibles ou impos* sibles pour le nombre, puisqu'il nous sera permis d'entrevoir que, dans certaines circonstances, les unes et les autres pour* ront être utilisées pour des réaUsations.

La question ainsi posée nous a conduit à donner à l'étude de l'algèbre une tout autre étendue que celle qui se bornerait à la connaissance des propriétés seulement applicables au nombre