CHAPITRÉ VU

II convient en outre de remarquer que les objets dont nous pouvons avoir à nous occuper jouissent généralement de la propriété de posséder simultanément plusieurs attributs; lorsque nous voudrons spécialement nous occuper d'un seul de ces attributs^ il ne sera pas nécessaire que Tégalité générale de ces objets existe^ il suffira qu'elle soit reconnue pour celui de ces attributs dont nous faisons actuellement Tétude : alors au point de vue de ces attributs^ nous pourrons considérer les objets comme égaux^ mais nous exprimerons mieux encore cette circonstance en disant qu'ils sont équivalents.

Par exemple^ dans la géométrie, deux parallélogrammes de même base et de même hauteur peuvent, au point de vue de leur figure^ être très-dissemblables, mais ils jouissent de la propriété commune que la surface enfermée dans leurs contours variés est constante; de sorte qu'au point de vue des surfaces il faut les considérer comme équivalents, quelle'que soit la variété de leur forme. Que si, satisfaisant aux conditions cidessus de base et de hauteur, ils sont en même temps super- |)08able8, ils seront égaux à tous les points de vue.

II résulte de tout ce qui précède que la constatation de Tégalité entre deux choses de même espèce n'est pas aussi simple qu'on pourrait être disposé à le croire au premier abord, et ce n'est qu'après une étude quelquefois très-approfondie des propriétés de ces choses, qu'on parvient à trouver les moyens de déterminer sous quelles conditions et dans quelles circonstances leur égaUté doit être affirmée ; ce n'est que lorsque cela a été reconnu que l'étude algébrique de ces quantités peut être entreprise; aussi la théorie mathématique de beaucoup de quantités n'a-t-elle pu être constituée que fort tard et après un assez grand nombre de recherches physiques et expérimentales, ayant pour objet de nous donner la connaissance de leurs principales propriétés. Tant que ces recherches n'ont pas été suffisamment développées, l'algèbre reste muette sur les lois de leurs augmentations et de leurs diminutions.

Supposons maintenant que l'égalité de deux choses de même espèce soit constatée, et voyons comment de ce premier fait

résultera la possibilité d'exprimer toutes les choses de cette espèce à l'aide du nombre tel que nous Tavons défini.

A cet effets prenons arbitrairement une de ces choses que, pour simplifier le discours^ nous désignerons par a, et comparons-la à toutes les autres de la même espèce; il y en aura de plus grandes et de plus petites qu'elle; supposons-les d'abord plus grandes et considérons-en une que nous appellerons b ; si en ajoutant a avec a je trouve que celte réunion est précisément égale à 6, je pourrai dire que celle-ci peut être représentée par 2 fois a ; si cette réunion de a avec a n'est pas suffisante pour donner 6, j'ajouterai encore une fois a, et si le nouveau résultat est égal à b, je pourrai dire que celle-ci est représentée par 3 fois a. Je pourrai continuer ainsi indéfiniment et j'obtiendrai^ chemin faisant^ une collection de choses de l'espèce en question dont les grandeurs successives seront 2 a, 3 a, 4 (^9 S ^v— jusqu'à ce qu'enfin le nombre de fois que j'aurai répété a soit tel qu'il y ait égalité entre le résultat de cette répétition et la quantité considérée 6.

On voit comment^ à l'aide de ce procédé, l'idée du nombre s'introduit comme représentation des grandeurs, et c'est à tel point que^ sous la réserve mentale, mais très-expresse, que a est censé devoir être accolé au nombre de fois qu'il a fallu le prendre pour former les diverses grandeurs, je pourrai dire que celles-ci sont respectivement représentées par les nombres 2,3,4,5

Hâtons-nous de faire remarquer que, pour que ce procédé puisse être appliqué, il est indispensable que, dans chaque cas, nous sachions comment il faut s'y prendre pour ajouter a avec a, avec 2 a, avec 3 a.... que nous sachions en un mot faire l'addition de deux choses de l'espèce considérée. Si cette connaissance nous manquait, la formation des grandeurs 2 a, 3 a, 4 a,.... ne pourrait être réalisée. C'est là une opération que l'algètre sait faire sur les nombres, mais qu'elle n'a aucun moyen de pratiquer sur les quantités elles-mêmes, et dont nous devrons rechercher les procédés dans l'étude directe des propriétés de ces quantités, ce qui, d'ailleurs, en général, ne saurait présenter de sérieuses difficultés.

Ainsi, pour les longueurs, l'addition se fait en portant ces longueurs à la suite Tune de l'autre et suivant une ligne droite.