CHAPITRE Yll
tion du nombre abstrait, et de donner un autre nom à ces unités qui servent de type pour procéder à l'évaluation numérique des quantités. Or^ parce que ces types sont la véritable quantité même avec toutes les propriétés qui constituent son mode particulier d'existence, il nous avait paru n\tionnel de les appeler modules. La convenance et Tutilité de cette modiflcation, quel que fût d'ailleurs le nouveau mot qu'on voudrait finalement adopter, nous paraissaient des motifs suffisants pour la faire adopter; mais nous étions jeune alors^et nous ne nous doutions pas que Thabitude est tyrannique à ce point que, plutôt que de céder à la raison, elle aie pouvoir de la tenir en écbec et de lui imposer silence. On a donc continué d'avoir plusieurs unités; mais si l'habitude avec ses droits usurpés est une puissance, ce n'est pas un motif pour que la raison renonce à faire valoir ses droits légitimes, et ne devienne pas à son tour une autorité. Voilà pourquoi nous persistons; seulement, dans ce conflit, comme dans tous ceux qui peuvent se produire, il ne peut être qu'avantageux de se faire de mutuelles concessions. Nous concéderons donc à l'habitude le mot, en lui demandant de vouloir bien consentir à son tour à ce qu'il reçoive un qualificatif caractéristique pour chacun de ses deux usages; qu'on veuille bien, en conséquence, appeler unité numérique la première espèce d'unité, et unité module la seconde. Nous concéderons même, en faveur des esprits qui n'acceptent pas sans quelque répulsion l'introduction de dénominations nouvelles, que la seconde espèce d'unité soit appelée unité con- ^ète; peut-être cela dérangera-t-il moins les habitudes prises. Toutefois, nous ne cacherons pas que le premier qualificatif nous parait préférable au second, parce que le mot concret en mathématiques s'entend assez spécialement des quantités de l'ordre matériel, et qu'on étudie en algèbre des quantités de Tordre intellectuel : tels sont les degrés des puissances, la forme des fonctions, les probabilités, les lois du mouvement de la population, etc.. A ce point de vue, le mot module, qui rappelle le mode d'existence des quantités, quel que soit ce mode, physique ou intellectuel, nous parait plus général et en même temps plus caractéristique que le mot concret; c'elst celui que nous adopterons pour notre part, et même pour abréger le diseours, au lieu de dire unité module, il nous arrivera souvent de dire simplement le module.
De l'ensemble des explications précédentes résulte ce point capital, et qu^il ne faut jamais perdre de vue, que la représentation d'une quantité est essentiellement complexe; qu'elle se compose de deux choses très-distinctes, savoir : i"" une quantité de la même espèce qu'elle, destinée à faire connaître de quoi on s'occupe et qu'on peut appeler unité concrète, unité module, ou simplement module; 2° un nombre indiquant combien de fois doit être répété le module pour reproduire exactement la quantité.
Nous savons déjà ce qu'est le nombre, et l'algèbre nous a fait connaître les divers rapports possibles ou impossibles qui le concernent. Nous savons aussi ce qu'est le module, puisque les propriétés fondamentales de l'espèce à laquelle il appartient ont été nécessairement étudiées lorsque nous avons voulu reconnaître si cette espèce peut être soumise aux spéculations de l'algèbre.
Au point de vue de l'écriture, il n'y a aucun inconvénient, il y a même une utile simpliQcation^ à supprimer l'indication du module dans les formules; mais, au point de vue de la conception, il n'en saurait être ainsi : d'abord parce que le raisonnement nous montre que les choses ne peuvent pas se passer autrement, et, en second lieu, parce qu'autre chose est de faire une opération sur le nombre, ou de faire la même opération sur une quantité. Si, lorsqu'on se borne à représenter les quantités par le nombre, ainsi que nous venons de l'expliquer, un perdait de vue la considération essentielle qu'un module doit toujours être mentalement accolé à ce nombre, les possibilités et impossibilités d'opérer sur les quantités seraient exactement les mêmes que celles d'opérer sur le nombre, et dès lors les résultats de l'algèbre seraient identiques pour toutes les espèces. Mais si, dans un résultat, on restitue à côté du nombre, et quoiqu'elle n'y figure pas ostensiblement, la considération du module, il y aura lieu alors de s'enquérir si les opérations indiquées dans le résultat, qui doivent s'appliquer nécessairement à la quantité, quoiqu'impraticables sur le nombre cousidéré isolément qui figure dans la représentation de cette quantité, mais qui n'est qu'une partie, ne sont pas susceptibles
