CHAPITRE VII

de s'appliquer sur le nombre module qui en est la représentation complète, c'est-à-dire, puisque le nombre est déjà éliminé, sur le module qui est la seconde partie de celte représentation. Or, s'adresser celle question, c'est déjà, je n'hésite pas à le dire, se donner les moyens de mettre à néant toutes les obscurités de la science, tout en laissant à l'idée de nombre la simplicité primitive de sa conception, c'est-à-dire Tindivisibilité de son unité. En outre, Irouveràcette question une réponse convenable, c'est faire entrer par une porte largement ouverte les rapports algébriques quels qu'ils soient dans le domaine des réalisations. La remarquable fécondité de cette idée n'enlève rien à la simplicité de sa conception et les plus vulgaires exemples sont aptes à en rendre évidente toute rimportance. C'est ce que nous allons voir : en tant qu'il ne s'agit que du nombre abstrait, i3 ne sera jamais divisible par 5; pour que l'opération de la division par 5 soit possible, il faut que le nombre à diviser soit constitué de manière à ce qu'il se trouve naturellement formé par une collection de groupes contenant chacun 5 unités; le nombre de ces collections sera évidemment la cinquième partie du nombre primitif. L'esprit conçoit cependant qu'il y aurait un autre moyen de satisfaire à cette question; en effet, i3 étant la collection générale de i3 unités, s'il était possible de prendre la cinquième partie d'une de ces unités, en accolant à i3 celte cinquième partie j'aurais évidemment réalisé l'opération demandée. Mais il s'agit ici de l'unité numérique et nous savons que le caractère essentiel de cette unité est d'être indivisible. Or si i3, au lieu de représenter le nombre abstrait^ représente une quantité, et s'il arrive que celte quantité jouisse, en vertu de ses propriétés naturelles, du privilège de pouvoir être indéfiniment divisible, il en sera de même en particulier pour l'unité module dont il aura pu me convenir de faire choix. Resliluant alors à i3 celle unité module pour représenter la quantité en question, je remarquerai que ce que je ne pouvais pas faire pour Tunité numérique qui est indivisible, je pourrai le pratiquer parfaitement sur l'unité module et que j*aurai par ce moyen, non pas le cinquième du nombre i3, mais le cinquième de la quantité dont i3 re|>résente la grandeur, parce qu'alors i3 ne s'appliquera plus à Tunité module primitive, mais à une unité cinq fois plus petite.

Or il y a un très-grand nombre de quantités qui jouissent de la propriété de pouvoir être divisées en tant de parties qu'on voudra, et nous verrons dans les chapitres suivants que ce sont celles qui jouissent du principe dé la continuité. Mais, sans nous arrêter en ce moment à Texamcn des lois naturelles qui conduisent notre esprit à la conception de la divisibilité indéfinie des choses, il nous suffit d'invoquer la possibilité pratique de cette division pour faire bien comprendre que, si certaines opérations impraticables sur un nombre sont cependant praticables sur la quantité que ce nombre exprime, c'est parce que, dans la représentation de cette quantité, il faut toujours voir à côté de ce nombre une unité module, de même espèce qu'elle, et qu'alors la réalisation des opérations à exécuter sur la quantité dépendra non-seulement de celles que nous pourrons accidentellement faire sur le nombre, mais encore de celles que la nature du module nous donnera les moyens de pratiquer sur lui.

De là ressort encore une fois cette conséquence importante que, dans l'étude de l'algèbre abstraite, nous ne devons pas nous arrêter dans nos recherches lorsque nous nous trouvons en présence de rapports ou d'opérations impossibles pour le nombre, car l'exemple ci-dessus nous montre que ce qui est irréalisable pour lui peut ne pas l'être pour la quantité ; de sorte que ces rapports qui, pour des conclusions purement abstraites, correspondent à des impossibilités équivalentes dans des demandes qui concerneraient le nombre abstrait, peuvent entrer dans la phase de réalisation lorsque les mêmes demandes s'appliquent à la quantité.

On voit donc que borner les recherches abstraites à la seule considération des rapports possibles pour le nombre serait se priver des moyens de procéder à l'étude complète des quantités, puisque celles-ci, mieux douées que lui par la nature, ont des propriétés de réalisation beaucoup plus complètes que n'en a le nombre, et que ces propriétés pourront être utilisées dans la représentation des quantités à l'aide du module qui fait partie intégrante de cette représentation.

En résumé, nous sommes en droit d'affirmer que, dans l'étude algébrique des quantités, l'impossibilité d'un rapport en abstrait cessera d'en être une toutes les fois que les opérations