CHAPITRE YIII

pouvons dire que rexpression d'une fraction j- doit toujours

être considérée comme une collection de a unités ayant reçu la fonction d'entraîner la nécessité d'une division par b dans toutes les opérations où ces a unités devront figurer. On pourra donc employer le nombre a de ces unités^ suivant les règles connues de l'arithmétique des nombres, sauf^ après coup, à leur restituer la condition qui leur appartient d'être divisives par b. C'est là une règle générale qui ne saurait tromper, parce qu'elle est une conséquence nécessaire de la définition aussi simple que juste que nous venons de donner du nombre fractionnaire ; il n'y aura plus qu^à examiner, dans chaque cas, comment s'exercera sur le résultat Tinfinence des conditions divisives auxquelles chaque numérateur est soumis.

CL Ctf

Par exemple, si je dois ajouter j- avec y, les numérateurs

a et a', exonérés chacun de la condition d'être respectivement divisés par b et b\ donneraient pour somme a + a^; restituant niaintenant les conditions qui appartiennent à chacun, cela se

change évidemment en ^ +tv.

Si je dois multiplier t par ^/, l'opération de la multiplication faite sur les numérateurs serait aoly mais, en vertu des conditionsdivisives de a et de a', cela deviendra nécessairement

Si je dois diviser ? par ^„ l'opération de la division effectuée

8ur les numérateurs sera -^\ mais d'abord, parce que a est di-

visif par 6, je devrai lui restituer cet attribut, et j'aurai ainsi a jy; en second lieu, parce que a' est divisif par 6^, et qu'en

l'employant comme diviseur j'obtiens nécessairement un révoltât V fois trop faible, je deyrai, pour avoir égard aux conditions auxquelles il est soumis, multiplier ce résultat par V,

et j'obUendrai ainsi ^.

bol

i66 DE l'attribut db continuité.

i Toutes les opéralions sur les fractions se comprendront avec

I la même facilité ; il suffira^ dans chaque circonstance^ d'ap-

; précier sainement quel deyra être sur le résultat Tiofluence

finale des attributs diyisifs ; et, quant à celles de ces divisions qui pourront se maintenir dans la valeur de ce résultat, on en exonérera le nombre pour en charger le module sur lequel elles produiront tout leur effet.

Hais ceci n'implique pas tout ce qu'il y aàdire sur le nombre fractionnaire^ et nous devons ajouter ici une observation qui ne saurait être passée sous silence, si l'on tient à avoir l'intelligence complète de tous les cas qui peuvent se présenter.

Rien de plus facile à concevoir que ce que signifie le nombre fractionnaire r lorsqu'il a pour destination de représenter une

quantité. Nous savons que dans ce cas cette quantité sera celle qu'on obtient en prenant a fois le module primitif préalablement divisé par 6. Hais j- ne représente pas toujours une quan-

titéj il peut être employé comme indication du rapport qui existe entre deux quantités de même espèce.

Si, par exemple, p et 9 sont deux pluraUtés, et si on dit que leur rapport est le nombre m, cela signifiera que la première est égaie à m fois la seconde ; de sorte que si p n'était pas connu il suffirait pour l'obtenir de répéter q un nombre de fois égal

à fn. Si maintenant oa prétend que le rapport est égal à ^ , la

pluralité p devrait être égale à r 9 ; or, s'il arrive que q ne soit

pas divisible par b, Texistence de la pluralité b sera irréalisable; en conséquence, sauf les seuls cas où q sera de la forme nb, il y aura impossibilité de résoudre la question.

Il n'en est pas de même lorsqu'il s'agit des quantités continues parce que, dans ce cas, les divisions peuvent s'exécuter sur ellesô supposons, par exemple, qu'une longueur 1/ étant donnée, on propose d'>en former une autre qui soit avec elle dans le rapport de a à 6 : on divisera à cet effetjL' par b, ce qui