CHAPITRE Yllt

peut toujours se faire, et en répétant a fois la longueur X de ce quotient on aura une longueur àk dont le rapport avec V

sera évidemment ?, puisque L' pourra alors être exprimé par

Ce qui est toujours possible^ c'est de constituerdeux pluralités qui soient dans un rapport donnée lorsqu'on a le choix des deux; il suffit alors de prendre Tune égale à un multiple du numérateur de ce rapport, et l'autre au même multiple du dénominateur; mais lorsque ce double choix n*est pas permis et qu'une des pluralités est déterminée d'avance, la question qui est le plus souvent insoluble en abstrait peut toujours être résolue pour les quantités concrètes.

Constatons donc en résumé que le nombre fractionnaire ^ .

peut exprimer soit une quantité, soit un rapport entre deux quantités de même espèce ; et qu'il résulte de ce qui vient d'être dit que, dans un cas comme dans l'autre, lorsque la quantité en question jouira de la propriété d'être continue, il sera toujours possible d'avoir l'intelligence de cette expression.

11 n'est pas inutile de remarquer, au sujet de cette double espèce de nombres fractionnaires^ qu'elle est une conséquence du double point de vue auquel on peut considérer la division de a par b, car cela peut signifier ou qu'on divise une quantité a en* b parties égales, auquel cas le quotient est concret, ou bien qu'on cherche combien de fois la quantité a contient la quantité 6, auquel cas le quotient ne saurait être concret. On est conduit à la même conclusion en considérant que la division étant l'inverse de la multiplication, on peut se proposer avec le produit de déterminer soit le multiplicande qui peut être concret, soit le multiplicateur qui ne l'est jamais. Toutes ces considérations sont donc en parfait accord les unes avec les autres.

Occupons-nous maintenant des expressions puissancielles et radicales.

On est souvent conduit, dans les questions qu'on a à traiter,

168 DE l'attribut db continuité.

à employer la considération de rélévation aux puissances et celle de l'extraction des racines.

La première de ces opérations est toujours réalisable en abstrait^ il n'en est pas de même de la seconde. L'intervalle qui sépare les puissances de deux nombres consécutifs n et n + i est en général très-considérable. Par exemple, les cinquièmes puissances des cinq premiers nombres sont i, 32, 243» 1024, 3i25; cela suffit pour faire comprendre que les nombres qui sont des puissances exactes constituent une très-grande exception, et que le plus souvent l'extraction des racines sera une impossibilité. Ces nombres dont on ne saurait extraire les racines sont ceux qu'on appelle irrationnels.

Présentons une première observation sur ce qu'il faut entendre lorsqu'on dit qu'on élève une quantité à une puissance. Si [f. est l'unité module de cette quantité, sa représentation sera de la forme Ojx; et il semblerait au premier abord que sa n»«*' puissance devrait être {ay.y ou a",uL**; mais, d'une part, si on se demande ce que c'est que d'élever un module à une puissance, ce que ce peut être par conséquent que de multiplier [m. par f&, une chose par une chose, de l'eau par de l'eau, un arbre par un arbre, non-seulement notre raison se refusera à comprendre ce que pourrait être une pareille opération , mais elle ajoutera qu'alors même qu'il serait permis de concevoir ce qu'elle est, elle ne rentrerait pas dans la catégorie de celles que nous avons définies, puisque nous avons fait remarquer qu'une des conditions essentielles de cette définition est que le multiplicateur ne saurait être concret. En outre, comme h^" ne serait plus ou une partie ou un multiple du module (a, tels que nous les entendons en algèbre, on voit que l'espèce considérée aurait disparu de la représentation de la quantité, et s'y trouverait remplacée par une autre espèce inconnue et non définie.

En fait d'opérations algébriques à exécuter sur les modules mêmes, il ne saurait nous être permis de concevoir et de pratiquer que celles qui dépendent de leurs propriétés constitutives. Pour l'unité numérique c'est la répétition, pour les unités modules des quantités continues c'est la répétition et la division, et nous ne connaissons que celles-là.

Il suit de là que c'est une locution très-vicieuse que dé dire qu'on élève une quantité à une puissance, puisque multiplier