CHAPITRE VllI

une quantité par une quantité est une chose qui n'a pas de sens; il faut toujours entendre, lorsqu'on emploie cette manière de s'exprimer, que ce qu'on élève à la puissance est seulement la partie numérique qui, dans la représentation de la quantité, accompagne le module.

A cette première observation il convient d'en ajouter une autre, qui a pour objet de bien préciser le sens de certaines opérations. En général, si (a est un certain module et que A ft représente une quantité de la même espèce que (a, lorsqu^à la

place de [l on prendra une de ses divisions r, l'expression delà

même quantité deviendra 6 A Ir); car il faudra évidemment,

pour obtenir le même résultat avec un module b fois plus petit, que la répétition de ce module soit b fois plus considérable que précédemment. Cela sera vrai, quelle que soit la valeur de A. Si par exemple cette valeur est un carré m* et que je veuille

tJL

changer le module des carrés [a en p le nombre de fois qu'il

faudra répéter le module sera 6 m», de sorte que changer le module une fois que le carré m* est calculé, c'est multiplier m* parle nombre 6 dont on a fait usage pour diviser le module.

Mais il n'en serait pas de même si ce changement de module se faisait avant la formation du carré, c'est-à-dire sur la racine. Dans ce cas, la quantité dont on veut exprimer le carré serait

bm f rj, et le nombre répétiteur indiquant comment la même

quantité se compose avec l'unité actuelle sera b m, le résultat

devra donc nécessairement être 6' m» (t ].

Que si, au lieu du carré, il s'agit d'une puissance quelconque n, on s'assurerait par un raisonnement analogue que le résultat

serait b^tiv (rj. Cette conséquence est d'ailleurs indépendante

du nombre qu'on aura \oulu adopter pour la division du module, de sorte que, quel que soit le module, quelles que soient les fractions de ce module qu'on voudra lui substituer, il est impossible que la partie numérique de la n*^"« puissance d'une quantité soit autre chose qu'une »'*"« puissance exacte d'un

i70 DE l'attribut de CONTINUITÉ.

nombre entier. Il suit nécessairement de là qae si M [a est la représentation d'une quantité^ et si M n'est pas une puissance exacte du degré n, il sera impossible que sa racine n*^'^ soit exprimable par une fraction quelconque du module (a.

Les nombres irrationnels ne sont donc pas susceptibles d'être ramenés a la forme fractionnaire; si cela se pouvait^ leur réali- ' sation pour tes quantités continues serait obtenue par cela même; or^ puisque ce moyen nous fait défaut^ il devient nécessaire de chercher à résoudre directement la question.

Ces choses ainsi entendues^ voyons si l'expression yM, impossible on abstrait et même en concret sous forme fractionnaire^ ne sera pas cependant susceptible d'être réalisée pour les quantités continues. A cet effet, remarquons que, quel que soit M, on trouvera toujours des puissances entières du degré k plus petites que lui ; soit m^ celle de ces puissances qui est la plus voisine de M^ on pourrait donc prendre m comme première

approximation de > H^ et par suite , s'il s'agit de longueurs et si X en est le module^ on pourrait dire que m X est la valeur

de ^M X.

Supposons maintenant que X est divisé en dix'parties égales, et considérons la suite des longueurs fournies en ajoutant à m X successivement une fois, deux fois, trois fois, etc., la longueur -^; comme la racine cherchée est comprise entre m X et (m -f- 1) X, on sera certain qu'avant d'arriver à ajouter lo fois — on aura passé par des valeurs qui seront les unes moindres,

les autres plus grandes que la racine cherchée. Si, par exemple, c'est entre trois fois et quatre fois que cette circonstance se

manifeste, nous pourrons dire que la longueur *» X -4- 3 ^

ou (m -h — ) X est une seconde approximation de la racine cherchée, et ce résultat différera du véritable de moins de -j^-

CHAPITBE Vill. 471

Panrena à ce point, divisons de nouveau le module en dix parties, de manière à le faire devenir — et ajoutons, à la

lOO ^ '

précédente valeur de la racine , une fois, deux fois cette nouvelle partie du module. Comme la racine cherchée est

comprise entre (^»> + ~j ^ et (m + ~j X, on sera certain

qu'avant d^ojouter dix fois — on aura passé par des valeurs

qui seront les unes moindres^ les autres plus grandes que la racine cherchée. Si, par exemple, c'est entre sept et huit fois que cette circonstance se manifeste, nous pourrons dire que

(*^ + T5)^'^7 Tw ^"(«w + 75 + 735)^ est une troisième approximation de la racine cherchée, et ce résultat différera

du véritable de moins de — •

Il n'est pas nécessaire d'insister pour comprendre qu'en poursuivant le cours de ces opérations on passera par une suite d'approximations toutes de plus en plus voisines de la véritable valeur de ^M, et qui finiront par jouir de la propriété d'en

diflérer d*une quantité aussi petite qu'on voudra.

On pourra donc ainsi parvenir à réaliser, avec tel degré d'approximation qu'on se sera imposé, une longueur dont

l'expression algébrique sera ^.

Le lecteur comprendra que, dans ce que nous venons de dire, nous n'avons pas eu pour objet d'exposer le procédé pratique , usuel pour extraire les racines; notre but a été seulement d'indiquer un moyen simple de conduire Tesprit à la conception * de leur réalisation pour les grandeurs continues.

Puisqu'un nombre irrationnel ne peut pas être égal à un nombre fractionnaire, le procédé que nous venons d'indiquer, et tout autre plus abréviatif comme recherche, ne sera pas susceptible d'avoir de terme. 11 résulte de là, au point de vue des conceptions théoriques, qu'il y a des quantités continues qui, de quelque manière qu'on s'y prenne, ne seront pas sifsceptibles d'être exprimées par la division en parties égales d'une quelconque d'entre eltes,et qui par conséquent n'auront .

172 DE L'ATTUBtr DB GOBTINUriB.

pas de commune mesure avec d'autres. Ces quantités, par rapport aux autres, sont appelées moonunensurables.

Il ne faudrait pas croire qu'il n'y a que les questions dans lesquelles Cgurent des nombres irrationnels qui possèdent la propriété d'exiger une série indéfinie d'opérations. U en est d'autres dans lesquelles n'entrent pas les extractions de racines et qui peuvent Clément y conduire. Mais il ne faudrait tirer de ce fait aucune conséquence d'incommensurabilité ; cette dernière propriété doit toujours être directement établie.

Par exemple^ je suppose qu'on a pris le neuYième d'une

longueur^ et qu'on se propose d'exprimer ce - par des divisions

successives en treizièmes de la même longueur. On s'assurera par un calcul fort simple que les trois premières

fractions qui figureront dans la valeur -seront-ô -h -Ti->- -ôjet qu'arrivé à ce terme on aura encore à évaluer par le même

procédé un reste égal' à -05 — Or, ce reste peut être écrit -j^,« -; il ne différera donc du nombre - qu'on veut évaluer que par le coefficient -^ ; les mêmes fractions que ci-dessus vont donc se reproduire avec le facteur commun -ôâ> ce qui don-

^^^^ TyiT'i^lV'^ T3> ) ^* ^" ^'"^ évidemment un nouveau reste qui ne pourra être que -4; X -JU- ou i X -• On

comprend, d'après cela, que par la continuation de ce procédé on reproduira successivement les trois fractions ci-dessus, disposées en groupes, qui seront multipliés, savoir: le premier

par I, le second par -:^> le troisième par -3-,, et ainsi de suite

indéfiniment Or, il serait inexact d'inférer de là que le - et

le Y^ d'une même longueur sont incommensurables, puisqu'ils peuvent l'un et l'autre être évalués par un certain nombre de