CHAPITRE VIII

parties de la fraction -g— ou — de la longueur proposée.

Revenons maintenant à l'irrationnalité.

Nous voyons que de même que la considération de la division nous a conduit à une espèce de nombre appelé fractionnaire qui^ quoique impossible en abstrait, se réalise pour les grandeurs continues en vertu de la propriété dont elles jouissent de pouvoir être indéfiniment divisées, de même la considération de l'extraction des racines nous conduit à une nouvelle espèce de nombres également réalisable pour ces grandeurs, mais par un procédé moins simple.

En effet, tandis que pour les expressions fractionnaires il suffit d'un nombre toujours limité de divisions, il n'en est pas ainsi pour les expressions irrationnelles qui en exigent un nombre illimité, et qui même, pialgré cette ressource, ne peuvent pas être exactement évaluées. A la vérité, cela n'a aucun inconvénient pour la pratique, puisqu'elle peut toujours conduire à une évaluation aussi approchée qu'on voudra, de sorte qu'en néglige«nt des restes tellement petits qu'il sera permis de les considérer comme nuls, on pourra dire que les nombres irrationnels rentrent dans la catégorie de ceux qui sont commensurables, et il n'y aura rien là qui répugne à nos conceptions.

Les calculs à faire, avec et sur les nombres irrationnels, ne sauraient présenter de sérieuses difficultés; il suffira d'avoir toujours présente à la pensée la propriété qui les caractérise, et qui consiste en ce que ces nombres entraînent la nécessité dans toutes les expressions où ils figureront d'extraire la racine d'ip certain degré. C'est ce que nous proposons, pour abréger,

d'exprimer en disant que y^ A indique que A est extractif du degré n. Ce qu'il y aura donc lieu de rechercher dans les calculs où figureront des nombres irrationnels consistera à se rendre compte des effets que leur propriété d'être extractifs du degré n doit produire sur les résultats successifs de ces calculs ; c'est ainsi que nous avons procédé pour les nombres négatifs

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et pour les nombres divisifs. Quant au résultat final, sa réalisation pourra toujours être conçue y ainsi que nous TaTons expliqué, à Taide d'une série de divisions.

Les développements relatifs à ce sujet concernent plus spécialement les ouvrages d'enseignement, et nous devons nous borner ici à l'indication du principe qui sera le fil directeur de ces recherches.

Après avoir expliqué comment le principe de la continuité permet d'exprinîer algébriquement les diverses quantités qui en jouissent, revenons au principe en lui-même, tâchons de nous rendre compte des circonstances naturelles qui s'y rattachent^ et d'en déduire toutes les conséquences qui peuvent nous intéresser^ soit au point de vue du calcuh^ soit au point de vue des conceptions.

On a vu, d'après les explications précédentes^ qu'on était obligé j pour exprimer certaines quantités^ de prendre de trèspetits modules ; que même quelques-unes de ces quantités ne pouvaient être introduites dans l'algèbre qu'à la condition qu'on exécuterait une série illimitée de divisions du module, et que, quelque petits que fussent les modules ainsi successvement introduits, on ne parviendrait jamais à l'expression théoriquement rigoureuse de ces quantités.

Cette idée de divisions indéfiniment poursuivies nous conduit naturellement à celle d'un module de plus en plus petit et même inûniment petit; notre raison est donc en droit de se demander ce que peut être^ par exemple, une longueur infiniment petite^ avec le caractère exclusif et absolu dont le mot fn/îm porte l'empreinte. Un tel objet ne saurait être une longueur, car s'il en était ainsi, je pourrais concevoir qu'on en prend une fraction, et dès lors il n'aurait pas élé vrai de dire qu'elle est in^nimtni petite; d'où nous sommes obligé de conclure que s'il existe quelque chose qui puisse être réputé Ipngueur infiniment petite^ cette chose est nécessairement indivisible. D'un autre côté, ce ne peut être lé néant, carie néant, répété tant de fois qu'on voudra, ne pourra pas produire quelque chose. Cependant, comme en partant d'un «module