CHAPITRE Vlli

Pour le moment^ nous nous bornons à cette simple observa- * lion, qui sera développée plus tard; mais on peut, dès à présent^ comprendre quelle est l'origine rationnelle de l'intro* duction en algèbre du calcul appelé avec raison infinitésimal, de ce calcul qui^ sans être l'opération même par laquelle dans Tordre naturel on passe d'une quantité à sa limite et réciproquement, en est la représentation équivalente dans Tordre de nos conceptions; de ce calcul qui^ sans parti pris, sans plan arrêté; sans aucun but proposé d'avance^ s'est introduit dans les recherches algébriques et a pu simultanément, diversifié dans sa forme, mais toujours le même dans son principe, germer dans plusieurs intelligences, parce que c'est le propre de la vérité de se faire jour et de sMmposer à nous^ même alors qu'elle ne nous est pas complètement connue dans l'ensemble de ses coordinations^ qu'elle n'est entrevue que par ces soupçons qui sont les éclairs dont le génie illumine la science.

On voit donc qu'il suffisait d'analyser dans tous ses détails le principe de la continuité, pour avoir la perception claire et précise du calcul infinitésimal; et que^ si toutes ces considérations d'infini qui s'y latlacbent ont souvent troublé notre intelligence; c'est que nous n'avons pas assez remarqué qu'elles se retrouvent dans les liens naturels qui rattachent certaines choses à d'autres; de sorte que si en cette circonstance nous devions éprouver quelque étonnement, ce serait au contraire que nous eussions pu dans nos calculs supprimer ces idées d'infini sans lesquelles la dépendance relative de certains faits naturels ne serait plus compréhensible.

Mais revenons à cette idée de la répétition du point en nombre infini pour former une longueur^ et montrons d'abord qu'elle ne vient apporter aucun trouble dans celle que nous nous sommes faite de la représentation des longueurs à l'aide d'une d'elles et du nombre. Sans doute , nous le répétons^ s'il nous fallait, avec un point et une infinité d'opérations^ produire une longueur^ nous serions dans l'impossibilité de le faire^ par le double motif que nous ne pouvons pas plus saisir le point que nous ue pouvons mettre un terme à une opération infinie.

178 DB L'ATTRlBOt DB CONTINUITÉ.

Hais si nous prenons une longueur toute faite, c'est-à-dire quelque chose qui est le résultat même de cette opération pratiquée avec le point, nous échappons ainsi à toutes les difficultés matérielles de Texécution, sans portet* aucune atteinte ni à la clarté ni à l'intégralité de nos conceptions. Nous avons alors quelque chose qui ise trouve naturelleriient être l'intégration

de/dx, faite depuis zéro jusqu'à la longueur même qu'il nous

aura convenu de choisir, et, avec cet outil entre les mains, nous repirodùirons, ainsi que nous l'avons expliqué, toutes les longueurs possibles depuis les plus grandes jusqu'aux plus petite^. D'un autre côté, si la génération intellectuelle/itir de la ibngùeur se trouve pratiquement réalisée par une lon-

gueur X, ce que nous pourrions représenter par/ dx, ceci va

devenir désormais l'équivalent de nôtre module, de sorte que tout ce que nous avons dit des modules et des longueurs qu'ils peuvent représenter comportera, sous la désignation X, les conceptions d'infini et de point auxquelles nous sommes naturellement conduit par l'étude du principe de la continuité. Par conséquent si, à l'inverse^ dans les recherches que nous pourrons nous proposer de faire stltr les longueurs, les considérations d'opérations en nbmbre infini ou d'une longueur infinimetit petite viennent se présenter et s'imposer à nous, nous saumns que l'une et llàutbb de ces choses se trouvent déjà dans le inddule, et nous n'aurons plus à exercer de pression sur notre intelligence pour lui deinander des justifications ou des etf^lications 4}ue iA nature nous offlre elle-même.

A nié cbnsidérer ique Pexpression fdx eii elle-niénie, il ne faut pas y voir une déteirmination particulière des lôngueursi elle lest nniqdemisnt ht représentation symbolique de la formation dé toutes les longueurs par le point, elle veut dire seulehiefat que, tjlans l'ordrls haturel, les choses sont tellement constituées qùlé la répéUtioh infinie du point conduit à la con-> ceptioh de là fongbeur; et qu'il est impossible d'en admettre une (Jueldonqule, inême la plus petite, sans qu'elle soit le t*ésuliàt d'une infinité de répétitions. Or, je conçois sans difflculté que celle infitiilé de répétitbns une fois faite pour produire une cerls^ine longueur doit être ensuite reptoduile une fois, deux

bdAPlTRB Vin. 170

fois, trois tf}% etc., pour obtenir des Ibbgueurs doubles^ tripies, quadruples de céll&-là, et Ique je pourrai ainsi avec des multiplications ou Hels divisions eil nombre Ûùi de cette répétition première^ toute infinie qu'elle soit, représenter toutes les longueurs exactement comme noUs le faisons atec le module. Mais il faut nécessairement en prendre une toute faite, qui réunit par elle-même les deux infinis^ qui en est la représentation matérielle et qui nous permet ainsi d'échapper à la difficulté^ à rimpossibilité même de les mettre nous-mêmes en Jeu Tune et Tautré. C'est ainsi que le chimiste qui Veut agir sur un corps n'a pas besoin d'en prendre isolément les éléuiehts constitutif^ de pratiquer sur eux cette infinité d^opérations à l'aide desquelles il conçoit que le but qu'il poursuit peut être obtenu^ parce qu'il trouve dans la nature des forces tellettient constituées qu'elles possèdent tout ce qu'il faut pour s'appliquer directement sur les éléments mêmes, quelque insaisis- Âbles qu'ils soient pour nous^ et pour y exercer cette infinité d'actions nécessaires à la production des résultats qu*il se propose de réaliser.

En un mot, parce que dans l'ordre physique nous aLVbtiS la conception de la longueur et du points parce que, daris le même ordre, nous reconnaissons qu'il doit y avoit* tiéceisâirement une relation obligée de l'un àFautre, nous avons été tiatUrellement porté à nous demander s'il n'y a pas moyen de nous renseigner sur ce que peut être cette relation. Or, l'étude de la continuité nous fait clairement comprendre que dans cette i*elatlon doit se trouver la considération d'une répétition infinie dont le côté pratique nous échappe sans douter mais dont la conception rationnelle nous est clairement acquise et peut devenir un puissant auxiliaire de nos raisonnements.

II n'est pas d'ailleurs nécessaire d'insister sur ce point que ce que nous venons de constater ne concerne pas seulement H longueur^ car nous n'avons pris celle-ci pour exemple qub dans le but de simplifier notre exposition. Ce que nous avons dit de cette quantité résultant des principes généraux û\i lacdn-> tinuité s'appliquera indistinctement à toutes les auth^s.

i80 DE l'attribut de continuité.

S'il s'agit par exemple des poids, la division infinie des poids me conduira à la conception de Télément matériel pesant dont on fait à tout instant usage dans la mécanique^ et par suite on comprend pourquoi^ lorsqu'on voudra passer de la considération de cet élément à un poids quelconque^ il sera nécessaire de faire intervenir une répétition infinie^ opération à laquelle nous avons donné le nom d'intégration.

S'il s'agit du temps la division infinie du temps nous conduira à la conception de l'instant indivisible, dont on fait un usage non moins fréquent. Dans ce cas encore, lorsque dans nos recherches nous serons conduits à passer de la considération de l'une à la considération de l'autre, nous ne pourrons le faire que par le passage de l'infini.

En résumé, lorsque, dans les recherches algébriques sur les quantités continues, on est conduit à la considération de la limite extrême de ces quantités, Tidée du module de ces quantités s'efiTace alors; elle se trouve remplacée par une conception nouvelle qui n'est plus la quantité même, mais qui a un rapport nécessaire avec elle, rapport qui entraine avec lui l'inévitable nécessité d'une division infinie.

Lorsque inversement on doit, en partant de la limite, être ramené vers la quantité dont elle peut être conçue comme l'élément générateur, le module de cette quantité sous la condition d'une infinie répétition doit api>araitre dans nos recherches et vient se substituer à la considération primitive de l'élément.

Plus généralement, si différentes espèces continues, en tel nombre qu'on voudra, sont naturellement liées entre elles par certaines lois physiques, de telle sorte qu'elles puissent être considérées comme formant une série dans laquelle ces espèces sont les limites successives des unes par rapport aux autres, le passage d'une de ces espèces à l'autre sera nécessairement l'objet d'une division ou d'une répétition infinie à la suite desquelles les modules des unes viendront prendre la place des modules des autres, soit dans l'ordre ascendant lorsqu'il s'agira d'intégration, soit dans l'ordre descendant quiind il s'agira de différentiation.