CHAPITRE IX

DE l'attribut de DmEdTIOTI.

SoMEAiRE. — I. De Tattribut de direction, sa définition. — I|. De l'oppo^ iUion dans V attribut de direction, considérée au point de vue de la Ion gueur. — m. Généralisation des mêmes idées pour toutes les quantités. — IV. De la perpendiculanté dans lattribut de direction. — V. Application aax quantités autres que les longueurs. — \l. De l'attribut de direc^ tûm pour un angle quelconque. — VII. Sur les quantités positives et pégatives par rapport i^ux imaginaires et sur le passage àw r4ç) à Timaginaire. — V|II. Du double sys(èn|e d^ nuipéfation quantitative ^\ Qjéi^ naJe. ~ IX. Réflexions de Poinsot à ce s^j^f.

l^e nourri attribut qtie^np^is nous pYrqpqsops nic^intepant d'étudief occup^unraifg iqf) portant dans tQ8con8idQr^tioqsgéQinétriqqes^ et ('pq pe^t affirrp^r qi|e c^f^çt à pe^ foqsic^praUons qu'il Taut exclqsiyjsment attribuer ^q iptroduptlpn dans la mençe (Ipcalcq^. I^Qu^ ajopt^rons ipépip que c'^st à la géom^tne qu'il a (if][fpri|nté sa ^énoipin^Uon ; tontefqis il nq faudrait pas croire qu'il ne se rencontre que ^ans la scieuce de l'étendue. Il appartiept au^si à cell^ de la ^lécauiq^^, dans certains cas à cell^ même de la pluralité, et il n'est pa? dputeux qu'il s'en présentera plus tard de nouvelles application^. Dais, comme c'est 14 un SHJet très-peuf dsfps les étuflps algébriques, uous cQps^ryerons à cet attribut la dénomination de 4ireçHfqu\ dérive de certaipes propriétés de la ligne drpl^e. Jusqp*â présenl, il n'en ^ pas été que|[tion dansrensejgpei^enten tant qu'il s'agi( de l'exposition des doctfiqes e( des prjppipes qui le concernent. Ou s'occupe ^ien des formes algébriques qui le caractérisenf ; mffjs à up tqut^^utrc point cjp vue quepelui qui consiste

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à montrer qu'elles sont les yéritables représentants d*une classe particulière de propriétés géométriques. Ces formes qui sont celles dites imaginaires interviennent si souvent dans les calculs que^ quoiqu'on les déclare incompréhensibles^ force est bien d'en dire quelques mots^ mais toujours sous la réserve qu'on ne les interprète pas et qu'on les considère uniquement comme des instruments de calcul.

Or^ la géométrie se prête si merveilleusement à Fintelligence de ces formes, les analogies qui existent entre elles et certains attributs de la ligne droite sont si complètes et si saisissantes, et d'ailleurs la géométrie occupe un rang si important dans les sciences mathématiques, qu'il y a tout à gagner à recourir à elle pour faciliter l'introduction des idées nouvelles que nous allons exposer, et pour en préparer Tinstallation déflnitive dans le domaine de la science. Nous verrons d'abord très-clairement, à mesure que nous avancerons dans notre exposition, à quels caractères on peut reconnaître qu'une quantité autre que la ligne droite possède un attribut équivalent à celui qui, pour elle, est appelé directif, et sous quelles conditions, par conséquent, les formes algébriques qui conviennent à celui-ci deviendront au même titre les représentants de celui-là.

L'attribut de direction consiste en ce que les quantités qui en sont douées possèdent la propriété que toutes les valeurs qu'elles peuvent recevoir en vertu du principe de la continuité, et même quelquefois de celui de la pluralité, peuvent être considérées comme susceptibles d'exister, suivant difTérentes directions, et plus généralement d'exercer leurs effets suivant des modes d'action qui présentent une complète analogie avec les directions en géométrie.

Disons à cet effet qu'un point étant donné sur un plan, et une longueur rectiligne d'ailleurs arbitraire étant portée à partir de ce point sur ce plan, nous concevons que cette longueur peut être appliquée sur une quelconque des directions qui passent par ce point et sont contenues dans ce plan. De telle sorte que les diverses positions que cette longueur peut ainsi prendre sont figurées par l'ensemble des directions des rayons d^une circonférence quelconque, ayant ce point pour centre. Or, ce que nous nous proposerons de chercher sera de savoir s'il existe des expressions algébriques susceptibles d'être

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dans les calculs les représentants de ces directions géométriques, et de déterminer les règles auxquelles ces expressions devront être soumises, pour qu'en vertu de ces règles il soit possible d'obtenir des relations algébriques entre ces formes tout à fait équivalentes à celles que les directions ont entre elles en géométrie. Mais, afin d'aller du simple au composé et de familiariser les idées avec ce nouveau point de vue, nous examinerons d'abord un cas particulier de cet attribut^ celui dans lequel les directions considérées sont opposées Fune à Tautre.

Supposons qu'on trace une ligne droite indéfinie sur un plan; rien ne s'oppose à ce que nous concevions que cette droite a été engendrée par le mouvement d'un point se dirigeant de droite à gauche, ou au contraire par celui d'un point qui marcherait de gauche à droite. Les diverses longueurs que l'on pourra prendre sur cette droite jouiront donc de la propriété que leur génération est susceptible d'être considérée à ces deux points de vue très-distincts^ et l'on comprend sans peine qu'il pent 7 avoir utilité^ nécessité même^ dans les diverses considérations géométriques auxquelles on pourra se livrer, de distinguer l'un de l'autre ces deux modes de génération. Or^ ce qui se présente de prime abord à l'esprit^ pour éviter toute confusion à cet égard; c'est d'affecter des indices différents à la représentation de chacun de ces modes d'existence des longueurs. Par exemple : si X est le module adopté pour représenter la grandeur des unes «t des autres, je pourrai conserver X pour exprimer l'un de ces modes et faire usage de l'accentuation de X pour exprimer l'autre^ de sorte que a étant le nombre de fois qu'il a fallu répéter le module X pour obtenir une certaine longueur» a X pourra être employé pour indiquer que cette longueur est dirigée dans un des sens ci-dessus, et a V pour indiquer que la même longueur est dirigée dans l'autre sens. Il est évident qu'à l'aide de cette convention il ne sera pas possible de se tromper sur celle des deux directions qu'on entendra attribuer aux diverses longueurs dont on aura à s'occuper. Mais une accentuation n'étant pas une opération algébrique ne pourra être employée que comme signe représentatif d'une

i89 DB l'ATTIIBUT de pitBCTlOIf.

diglinctlqn à faire entre deux choses copsidiéraes ^ (Icis f^^^ de vue différents^ et ne nous apprendra rien suf \e^ augni^q^atiens ou dimiputions qui poprront être le résultat ^ f^ivfiisef combinaisons qu'oQ aura à lair^ entre ces pbp^s. Ë^ çtq efTet» avant d'appliquer à un indice ponventioqn^t uqfi flp^ntion quelconque de ca^qql, \\ fs^qt avoir d^i ce que pqui ^^r^, dans c^ cas, une sembl£^))le opérat^qp ; c'est là unq péc^f^ qui s'imposera toujours lof^qu^^; ^^^^ scjencp algél^nque^ oi) emploiera un signe poqr représenter non uqe opératiop 4e IV rithmétique, non une quantité, mais une convention. Tant que la relation qui peut exister entre les procédés du calcul et Tordre de considérations auquel s'applique cette convention n'aura pas été soumise ^ de séfieus^ç inv^^tig^itiops^ i\ s^rçi impossible de conclure. Or> il ne faudra p^çcb^rplief ia^eïa^Q^ dont je parle dans qiieiques artiGces fie calcul, 4ap$ le \p\K sqjft vent abusif de quelques forpiules, dans le rappropl^einenl ^^ fondé de quelques résultats plus pxclusivefpent algébrjqu^ que rationnellement cpipparatifs. Mais il faudra ls| dédMJre f)^ la nature même de Tordre de f^its cop^idérés^ €|e Te^ppc§ eî de la constitution de ces faits dir^çten^ent comparée ayec Cf^lte des opérations diverses dont se compose la scifsnce dq ca)cpj^ de Tanalogie complète qui peut e;Lister ent^re les résultats qpQ ces recherches mettront à jour sur les quantités auxquelles elles s'appliquent, et ceux que les opérations fie c^lcpl produiront à leur tour sur les nombres qui f eprésentent ces qmintité((. Si dans cette cpn^paraison on trouve une équivalence cpmplèk» entre les pns et les autres, alprs, mais alors seulement, oq sera en droit de conclure que les lois pafurelles qu'on ^tqdie ont un représentant algébrique, et que le sign^ conventipqpel peut être représenté par une opération de calcul- Appliquons ces principes à ce qui concerne les directions opppséeç.

Sur la droite indéflpie que nous avons tracée daqs pn plipt^ arbitrairement choisi, prenops un poipt fixp.Si Ton considèn 1^ longueijf s successives qui, partaqt de ce point, sont sitqéf^ à droite, elles progressent dans qn des deux sens dont npps nous occupons; et, si l'on considèrp cel|es qqj, partant (Je cf^ même poipt, sont situées à gauche, elles progressant ep seq^ ipverse. Les premières seront donc flésigpées, en vertqdeceqqi précède, par (iX, et les secpuflespar oX^ Eq coqséqpepce, si j'ip

4 ^o^lar deux Iqqguftura (ik et b\ (^e Is^ première a^Rèçe^ je port^r^ d'4bqfd la première à f^^liv du poiat fixe sur le côté droit de notre tlgne^ et puis la seconde à la snite à pfoliP de l'extrémité c|e la première : j'obtiendrai ainsi une longueur qui ^^v^ la somme d^ deux proposées, qui se compose dM module X répété a -f- 6 fois, et dont la représentation algébrJai|e «era (a + 6) X. Evidemment qu en pourrait dire autant qe^ lougapiirs q X^ et 6 V^ qui seraje^t tput^^ deu^i^ ^e la ^epqqde es.pèce.

Considérons mainteuant deq^p Ipngueqrs, aX et i>X', d'espèces différentes, et pl)erc|ions pe que ppur^a prodqjre lefir réunipn matérielle et pbysiqqe eu ay^ut égv^ %w ^m WÎvftnt lequel chacune est dirigée.

Je commenceraj, cpmiipe précéd^mi^ent, à porter du p^té droit à partir f|u ppjnt fl»e la longueur aX ; mais, lorsqu'sprès cette opération jq pprlerai à rextr^milé de aUa sepondelpngueqr, eq lui attnbqant|e sens qu'elle doit avoir de sp diriger vers la gapche, djiov^ Tei^trémité dp pettp longueur, bipp lo|u de se placef au-delà du pqint fixe à uqe distance supérieure à

aX^ vienc^r^ ^m^^f ^^l^r^ l'extrémité ^^ celle-ci et le point fixe, ou même au-delà de ce point fixe, vers la gauche. L'addition aX -H bV, bien loin dp me donner quelque chose de plus grand que aX, me donnera donc au contraire quelque chose de plus petit, eti| e^t évident que çe^te pl^pse sera préciséii^ent cpUe que j'auraisi obtenue si, considérant la seconde longueur ^-'Pmnie d^ même e^pècp que la première, je l'avais soustraite ^^ celle-ci au lipu de rajouter. Cela PP$^7 si je l'ayais considérée cpmme étaptde }nèxjçtG espèce, elle aurait eu pour représentation iX.; si jp l'avajs sqqstrajte, l'expressjpu algébrique du résultat aufajt été fiX — (»X, et, puisqu'il doit y avoir équivalence daps les deu^ manières d'opérer, oq devra avoir aX -+- 6X' == aX — ^X, d'où résq|te la relatiqn &X^== — ftX. Or, ^ceci noiis apprend que la propriété que OPq^ avons youlu caractérispr par Taccentuation poqveptionqelle de ^ Rro(|uit physiquement les mêmes effets que la soqstractioq en algèbre; qu'il y a, par cppséquent, équivalence entre cette propriété et l'opération sopstractive^ qui en devient ainsi |e représentant légitime, de sorte que Ton se trouve autorisé à dire que ce qu'on avait voulu distinguer, par l'accentuation de > le sera d'nne telle manière par le signe —, que t^ns les résultats ma-

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tériels qui sont des conséquences de la propriété que nous considérons se trouveront exactement reproduits dans les calculs algébriques. En résumé^ si le module "k représente les longueurs dirigées dans un sens, le module — \ sera la représentation algébrique équivalente des longueurs dirigées dans un sens opposé, et, si comme on est dans rtiabitudé de le faire on veut supprimer dans l'écriture des formules la considération du module, reportant sur le nombre qui l'accompagne dans lareprésentation algébrique des quantités les effets du signe soustractif; on pourra dire que^ pour avoir égard à l'opposition dans le mode d'existence de la longueur, relativement à son conjugué; il faut considérer comme diminutif le nombre de fois qui le représente. On voit que, dans le cas particulier où les deux longueurs aX et bV seraient égales, leur addition ramènerait au point fixe. De sorte qu'en ce qui concerne le quantum de longueur obtenu, le résultat de l'opération serait zéro. C'est aussi ce qui arrivera dans le calcul, puisque dans ce cas b étant égal à a, Tune sera représentée par aX, l'autre par — aX, et que ces deux expressions s'annulent par leur réunion.

Il est d'ailleurs évident que la nature des développements que nous venons d'exposer est telle que tous nos raisonnements, bien que se rapportant aux longueurs, sont généraux et susceptibles de s'appliquer à toutes les quantités pour lesquelles on aura constaté les deux modes d'existence opposés. Or, pour parler d'une manière générale, nous dirons que l'opposition dans le mode d'existence entre deux quantités se reconnaît an caractère suivant : c'est que deux quantités, entre lesquelles cette opposition existe, s'anéantissent, relativement à l'un des effets qu'elles peuvent produire et qu'on étudie actuellement, par leur réunion, par leur addition matérielle et physique, lorsque d'ailleurs ces quantités ont la même valeur absolue.

Ainsi, parce que le mouvement qu'un poids placé dans le plateau d'une balance communique à cet instrument autour d'un axe fixe est anéanti par l'addition d'un poids égal au premier placé dans l'autre plateau, je dirai que les modes d'existence ou d'action de ces poids sont opposés l'un à l'autre.