CHAPITRE IX

rique de cette quantité qui doit toujours être a; c'est ce qui a lieu pour la représentation des directions positive et négative, car dans + a comme dans — a la pluralité a reste la même. Or, il serait bien difficile de comprendre ce que devrait être x pour que la forme a+x n'altérât pas la pluralité exprimée par a. Ayant échoué de ce côté nous sommes conduit à recourir à d'autres moyens. Or, nous allons voir que Texamen de ce qui concerne les directions positive et négative va nous mettre sur la voie de ce qu'il peut être permis de faire pour la direction perpendiculaire. Il est évident que Tattribut de direction ne devant pas changer la pluralité qui représente les longueurs, uous ne pouvons guère concevoir que cette condition soit remplie autrement que par qjaelque signe d'opération qui par luimême n'entraîne ni augmentation ni diminution de cette pluralité et qui n'aura d'autre objet que de lui faire remplir, sans l'altérer, telle ou telle autre fonction ; de même que l'opération de faire un angle droit fait remplir à une longueur, tout en la laissant la même, la fonction d'être perpendiculaire à la direction primitive.

C'est ce qui existe pour les deux directions opposées, ainsi que nous l'avons fait remarquer ; on voit évidemment que dans ce cas le signe négatif ne change pas la pluralité et qu'il se borne à l'indication d'un usage particulier qu'il en faudra faire; il satisfait donc à tous égards aux conditions définies: or, dans nos. usages algébriques, par suite de ce qui a été démontré au sujet de la règle des signes, le signe souslractif, appliqué à une pluralité, peut être considéré comme l'équivalent de la multiplication de cette pluralité parle facteur — i, et comme ce même facteur algébrique — i appliqué à son tour à la direction négative nous fait retomber, ainsi q^ue cela doit être, sur son opposée, puisque — i multiplié par — i donne + 1, nous voyons que, pour ces deux directions tout au moins, c'est par la voie de facteurs que la coïncidence entre les faits algébriques et les faits naturels se trouve établie.

Enfin, parce que ces deux directions ne sont que des cas particuliers des quatre évolutions que la perpendiculaire doit faire pour qu'en partant d'une direction on s'y trouve ramené, il s'ensuit qu'il n'y a rien que de naturel à admettre que l'expression algébrique générale de la perpendiculaire, si elle est

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possible, doit se faire par les mêmes formes et les mêmes moyens que ceux qui conviennent à deux de ses cas particuliers.

Nous sommes ainsi finalement conduit à prévoir que c'est par la voie de facteurs qu'il nous sera possible d'obtenir la solution de la question que nous nous sommes proposée.

Ces choses ainsi entendues, si x représente dans cet ordre d'idées le facteur de la première perpendicularité^ x^ devra représenter celui de la perpendicularité double, c'est-à-dire la direction négative ou — i, a^ celui de la perpendicularité triple, c'est-à-dire l'opposé de la première perpendicularité ou — x, enfin x^ devra être l'équivalent de la direction primitive ou + 1 •

Or, exprimer de tels résultats, c'est évidemment énoncer les

propriétés essentielles et caractéristigues de l'expression ^ — i, et de là nous concluons qu'en algèbre cette expression représentera par ses diverses puissances les évolutions mêmes auxquelles on est conduit en géométrie par les répétitions successives et juxtà-posées de Tangle droit.

Nous sommes ainsi ramené à ce point de doctrine que v' — i n'est pas autre chose qu'un signe d'opération. A cet égard, les considérations concrètes viennent ajouter le remarquable appui de leur autorité à celles qui se sont présentées à nous comme la conséquence nécessaire de nos premières études

théoriques. Si, en effet, \Pm est Téquivalent algébrique de la perpendicularité géométrique, c'est-à-dire de Vopiraiion qui consiste à faire un angle droit, n'est-on pas obligé de reconnaître qu'il ne peut être lui-même qu'une opération ?

La question que nous nous étions proposée est donc résolue^ et nous sommes maintenant en mesure d'étudier les diverses conséquences qui en résultent pour la conception de la représentation algébrique d'une direction quelle qu'elle soit.

Toutefois, avant d'aborder ce sujet, nous ne devons pas négliger de faire observer que les raisonnements que nous Tenons d'exposer, bien qu'appliqués aux longueurs, sont susceptibles de convenir à toutes les quantités qui, comme les longueurs, auront des modes d'existence définis par des condi-

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lions analogues à celles de la perpendicularité; nous dirons donc dans un sens général :

a Lorsqu'une espèce de quantité possédera entre les deux a états opposés qu'on appelle positif et négatif un troisième a état intermédiaire^ et lorsque ce troisième état sera tel que si « après avoir fait, pour l'obtenir, certaines opérations sur Tétat « positif, il arrive qu'en répétant sur cet état intermédiaire les « mêmes opérations et dans le même ordre, on passe à l'état c négatif, ce troisième état, disons-nous, devra être repré-

« sente dans Talgèbre par l'expression V---Î- ^

Par ce moyen nos principes se généralisent, et l'on voit que ce n'est pas une interprétation seulement géométrique des expressions imaginaires que nous présentons ici, mais une inter* prétation également applicable à toutes les quantités dont les divers modes d'existence sont définis par des conditions analogues à celles qui régissent entre elles les directions soit opposées, soit perpendiculaires.

A ce point de vue nos explications ne se bornent pas à une simple considération de géométrie analytique, leur portée devient aussi générale que possible ; elles ne sont pas le résultat d'une coïncidence observée peut-être par hasard entre une figure de géométrie et quelques expressions algébriques; elles prennent leur origine dans cette idée préconçue, aussi féconde qu'elle est simple, qu'il y a lieu de se demander et de rechercher si ce qui est lié par la nature n'est pas susceptible de l'être par les opérations de calcul, proclamant d'avance que tout ce qui sera lié de la même manière devra certainement avoir pour expression analytique les mêmes symboles d'opérations, les mêmes rapports.

Occupons-nous maintenant de la représentation générale des directions.

Dans l'étude de cette nouvelle question, comme dans celles qui Tout précédée, nous commencerons par déterminer les diverses relations géométriques qui existent entre les données; nous examinerons ensuite si l'algèbre nous donne les moyens d'exprimer analytiquement les mêmes relations.

A cet effet revenons à notre ligne fixe sur laquelle nous avons

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pris arbitrairement un point 0 et dont les deux parties à droite et à gauche de ce point ont été désignées par OD et OG. Nous rappellerons ligne de base.

Considérons une nouvelle direction OC passant par le point 0 et faisant un angle a avec la première.

Si d'un point quelconque Â^ de la nouvelle direction OC^ on abaisse une perpendiculaire AÀ^ sur la ligne de base^ ce sera un fait géométrique patent que les deux longueurs OA' et A'A^ ajoutées ensemble, en ayant égard tant à leurs longueurs qu*à leurs directions, conduiront au point A^ comme on y serait arrivé^ en suivant la longueur OA sur la direction OC.

Or, nous savons déjà que pour avoir égard à la direction perpendiculaire de AA^ sur la ligne de base, il faut que la longueur

AA^ soit accompagnée du facteur v^^, de sorte que le chemin

dirigé OA'A a pour expression analytique 0A^ + A'AV^.

Ecrivons donc. maintenant que cette expression doit être égale à celle du chemin OA pris sur la direction OC.

Dans ré tat d'incertitude où nous nous trouvons sur la forme analytique qui doit servir à représenter cette dernière direction, relativement à celle de la ligne de b^se, nous admettrons, pour un instant, ainsi que nous Tavons pratiqué dans les recherches précédentes, que cette forme consiste en un certain facteur inconnu que nous représenterons para?, de sorte que OA sera représenté tant en longueur qu'en direction par le produit algébrique OA.x. Nous devrons donc avoir, en vertu des

précédentesremarques, OA.ic=OA^+A'Av/^, équation de laquelle nous déduirons x = j^r- + jrr si— i i telle est la valeur de Xy telle, est la forme de Texpression analytique qu'on peut appeler le coefficient de direction d'une ligne faisant un angle oc avec celle de base.

Hais il est évident que rationnellement, puisque cette forme doit dans les recherches algébriques représenter la direction de la ligne OC,il est évident, disons-nous, qu'elle doit convenir à tous les points de cette ligne et^ par conséquent, ne pas dépendre de la considération particulière de l'un de ses points A.

Tel est en effet le caractère propre à l'expression ci-dessus, car si le point A y figure, ce n'est qu en apparence. C'est en