CHAPITRE IX

effet une Yérité géométrique dépendant de la nature de la ligne droite et de Tangle que les rapports ^rj » jr^- restent invariables quel que soit le point A qu'il aura plû de prendre sur OC ; de telle sorte qu'en représentant, comme on est dans Tusage de le faire, les valeurs constantes de ces rapports par cos « et

8in«, il vient définitivement a; = cosa + ^^ sin «, forme sous laquelle l'indépendance de la valeur de x, par rapport au point A ou à tout autre de la direction OC^ devient manifeste.

Il est donc bien établi que les directions des droites, les unes par rapport aux autres, ont une expression analytique ; de telle sorte qu'à Taide de cette expression on pourra soumettre ces directions au calcul avec les mêmes facilités qu'on y soumet les longueurs représentées par les nombres. On voit encore qu'on pourra dans ces calculs reproduire la marche même de la géométrie qui, dans ses procédés, met à la fois en œuvre les longueurs et les directions, puisque l'expression multiple

r(cosa + yCI7 sin a) représente collectivement une ligne dont la longueur est r, et qui fait un angle a avec la direction prise pour point de départ.

Par conséquent, si l'on a tracé une portion de contour polygonal rectiligne dont les côtés font avec la ligne de base les angles 6i,6t,0,,..., 6», et qui ont pour longueurs respectives ^ly^i^Oa,..., an, l'expressiou analytique de ce contour sera

a,(cos6i+\/^sin9,)-ha,(cos9, + v'^sin6J + ... +an(cos6»+v/^sin6») ,

de sorte que par ce moyen il n'est pas de tracé de figure géométrique composé de lignes droites qu'on ne puisse immédiatement traduire et interpréter en algèbre. Nous nous expliquerons plus tard sur ce qui concerne les courbes. 11 est à peine besoin de faire remarquer que toute expression

de la forme p + 9 V^~^ P^^^ ^^^^ ramenée à celle

r (cos a + v'^ sin a)

et exprime, par conséquent, une longueur dirigée, car on peut l'écrire

498 DE l'attribut dK direction.

alors , ^ et ,.-J-— peuvent être considérés comme re-

présentant respectivement les cosinus et sinus d'un même

angle «^ tandis que v^p' + 9* représente une longueur r.

Il y a donc dans tout binôme imaginaire association des deux éléments de longueur et de direction, et il est utile de pouvoir les désigner Tun et l'autre ; à cet effet, on a proposé d'appeler l'un le module, l'autre l'argument. Ces deux dénominations ne nous paraissent pas convenablement choisies parce qu^elles ne rappellent ni l'une ni l'autre les propriétés essentielles de la longueur et de la direction. Il nous semble qu'il serait préférable à tous égards d'appeler l'élément de longueur le conr tinu et l'élément de direction le direclif. Il y aurait à cela l'avantage de rappeler ce qu'est chaque chose en la nommant; le mot continu n'offre pas d'ailleurs l'inconvénient de rappeler une espèce particulière, il peut ainsi se prêter à des désignations de quantités autres que les longueurs et pour lesquelles, d'après une remarque précédente, Timaginaire serait réalisable.

Avant d'exposer les conséquences du fait important que nous venons d'établir, nous croyons devoir présenter quelques observations sur les quantités positives et négatives par rapport aux imaginaires et sur le passage du réel à Timaginaire,

Quand il s'est agi sur une même droite de considérer des directions opposées, les géomètres ont vu d'abord et prouvé ensuite l'intervention nécessaire des signes + et —, mais ils ne sont pas allés au delà. En adoptant pour la représentation analytique des courbes le système des coordonnées rectangulaires, ils ont affecté le facteur + 1 aux abscisses positives et le facteur -^i aux abscisses négatives, parce qu'ils ont reconnu qu'il y a entre ces deux directions opposées une relation obligée. Quant aux ordonnées, ils les ont aussi reliées entre elles par une relation de même espèce. Mais entre les ordonnées et les abscisses ils n'ont rien vu de commun que l'équation même de la courbe, c'est-à-dire la fonction qui lie la grandeur de l'ordonnée à celle de l'abscisse.

Aussi les quantités positives et négatives forment-elles une