CHAPITRE IX

classe à part tout à fait distincte des quantités imaginaires ; jusqu'à ce jour on a si peu tu dans les unes et dans les autres des membres d'une même famille^ que les premières sont rangées dans la classe des choses réelles, tandis que les secondes appartiennent à un monde réputé imaginaire. Le calcul cependant^ avec sa rigoureuse logique^ enseignait

qu'^ntre + i, — i et cosa+ V--7 sin «, il y a une liaison nécessaire^ puisque les deux premières expressions ne sont que des cas particuliers de la troisième ; mais cette circonstance^ loin d'éclairer la question, l'obscurcissait encore, tant on se croyait obligé de trancher entre le réel et l'imaginaire ; et le passage de l'un à l'autre, employé comme un puissant auxiliaire dans les recherches purement analytiques, est resté pour notre intelligence, et sous le point de Tue philosophique, une circonstance incomprise.

c Les passages du positif au négatif, dit Laplace, et du réel à a l'imaginaire, dont fai le premier fait usage, m'ont conduit a encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singua Hères, qttefai ensuite démontrées directement. On peut donc a considérer ces passages comme un moyen de découverte paa reil à Tinduction et à l'analogie, employées depuis longtemps a par les géomètres, d'abord avec une grande réserve, ensuite a avec une entière confiance, un grand nombre d'exemples en d ayant justifié l'emploi; cependant^ il est toujours nécessaire a de confirmer par des démonstrations directes les résultats € obtenus par ces divers moyens. » (Théorie analytique des probabilités. Introduction.)

On voit donc que les passages du réel à l'imaginaire, que Laplace déclare avoir employés pour la première fois, et dont les géomètres actuels font un fréquent usage, ont été des moyens de découverte fondés, non sur une théorie rationnelle, mais seulement sur la sanction de l'expérience. Aussi Laplace ne les considère-t-il nullement comme emportant avec eux leur justification qui doit être établie par des moyens directs, ce que malheureusement on ne fait pas toujours.

Mais actuellement que nous venons de prouver que l'expression cosa + ^^ sin a n'est autre chose que celle d'une direction, et que les relations qui existent entre les directions posi-

200 DE l'attribut de direction.

tives, négatives^ perpendiculaires et angulaires^ sont pour ainsi dire le résultat d^un coup-d'geil jeté sur une des plus simples

figures de géométrie, la liaison qui existe entre +i, — i, V— î

et cos ÙL+ \f^ sin « se trouve par cela même établie non plus seulement comme une conséquence purement analytique^ mais comme une nécessité que le raisonnement constate à priori, et dont le principe est indépendant de toute vérification ultérieure.

On conçoit ainsi, avec la plus grande facilité, que le passage mystérieux du réel à Timaginaire va devenir une des plus simples conceptions mathématiques, et qu'il n'y faudra voir autre chose que le simple changement de la ligne de base primitivement prise pour point de départde la supputation des directions.

Ces considérations fort simples, entrevues au commencement de ce siècle, et que nous avons nous-méme développées il y a une trentaine d'années, n'ont cependant fait en France que d'insignifiants progrès; c'est qu'à notre avis nous nous sommes encore plus appliqués à rechercher des effets qu'à étudier des causes, à courir après des séries et des formules, nous contentant souvent de quelques apparences, sans nous rendre compte de rétendue, de la portée, de la véritable interprétation des résultats obtenus. Nous avons trop oublié cette sage recommandation de Laplacc: <c Que les résultats transcendants du calcul <x sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des tf signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étenft due qu'en remontant, par l'analyse métaphysique, aux idées a qui y ont conduit b

C'est là le défaut de notre époque ; nous voulons avancer, et toujours avancer, sans remarquer que, si ce que nous cherchons se trouve au point de départ, nous ne ferons en marchant que nous écarter du but; que ce ne sera que par voie de retour, comme le dit l'illustre géomètre que nous venons de citer, qu'il nous sera possible de bien connaître la route que nous devons suivre et d'avoir l'intelligence des diverses circonstances qui s'offriront à nous pendant ce parcours.

Le principe de la représentation algébrique des directions par les formes imaginaires oiTre une analogie trop remarquable avec celle des grandeurs continues par le nombre pour que.

GHAPITBE ne. 201

avant de passer à Tétude des conséquences, nous n'entrions pas dans quelques détails à ce sujet

Si y. est le module que Ton convient d*adopter pour les longueurs^ les diverses longueurs qu'on pourra produire avec ce module restant entier seront exprimées par X^ 2X, 3X^ ..., pX.

Si a est un angle convenu d'avance> pour compter une série de directions, toutes les directions qu'on pourra produire avec cet angle restant entier seront exprimées par

cosa +v/^^sin a, C0S2 a+ v/ — ï sin 20c, cos3a+V^sin3a,..., cospa+v^ — i sinpa.

Si on divise le module X des longueurs en un nombre n de parties égales^ les diverses longueurs qu'on pourra prod^iire

avec la n»^« partie de ce module seront i -, 2-, 3-, ..., p-

Si on divise l'arc « qui a d'abord servi à compter les directions en un nombre quelconque n de parties égales, les diverses directions qu'on obtiendra avec la n»«^ parlie de cet arc seront

cos — hV— I sm-, C0S2 — hv— ism2-, .... n n n ^ n

cosp- + i/— I sinp-.

Ot, de même que les expressions de la longueur en y faisant =X' reviennent à la forme primitive X', 2 X', 3X', ..., pX^,

de même aussi celles des directions, en y faisant -= 0/, revê-

tent la première forme.

Nous sommes ainsi conduit à cette conséquence que, dans la théorie de l'algèbre, ce n'est pas un seul système de supputation qu'il faut avoir en vue, si Ton veut arriver à la connaissance complète de tout ce qui intéresse les quantités; il est nécessaire d'avoir égard à deux systèmes : l'un représenté dans ses éléments par la série des nombres i, 2, 3, ..., pour représenter les grandeurs^ les intensités des quantités, tout ce qui, en un mot, se rattache à leur continuité ; l'autre figuré par la série des nombres imaginaires que nous venons de faire connaître pour représenter l'ordre, la situation, les différents

9M DB L^ÀTTRIBCt DE DIRECTION.

.Diodes d'existedce ou d'action de ces quantités; le pîemîer qui pourrait être appelé système de numération quantitatiTe, te second système de numération ordinale.

Ainsi se trouve solidement appuyée sur sa base et toute prête à être étudiée dans ses conséquences, cette théorie de l'ordre et de la situation des choses^ sans aucune considération de la grandeur entrevue et signalée par Poinsot il y a un demisiècle et qui, jusqu'à ce jour, n'a pas été constituée faute d'avoir su chercher et reconnaître dans les principes tout ce qui s'y 4rouve.

«c La théorie des angles^ dit ce géomètre, n'appartient pas

a seulement à la géométrie, comme on pourrait le croire au

a premier abord ; mais c'est encore une partie essentielle de

<È l'analyse mathématique. Ces quantités remarquables^ ou

« plutôt ces rapports auxquels la géométrie donne naissance

a et qu'on nomme des angles, se présentent en algèbre d'une

« manière aussi naturelle et aussi nécessaire que les exposants

ff et les logarithmes ; par leurs propriétés toutes semblables,

a elles en sont même inséparables, car, si la division du loga-

« rithme en parties égales répond à l'extraction de la racine

« d'une quantité réelle, la division de l'angle en parties égales

a répond de même à l'extraction de la racine d'une quantité

<K imaginaire. Or ces quantités réelles et celles qu'on nomme

<x imaginaires, se présentent également toutes deux dans nos

a transformations analytiques; elles se mêlent pour ainsi dire

a à tous nos calculs, et c'est même dans cette combinaison de

<c symboles réels et imaginaires que consistent la nature propre

« et le caractère distinctif de Talgèbre. On voit donc que cette

a science, pour l'exécution actuelle de; opérations qu'elle in-

a dique, exige à la fois la considération des angles et celle des

« logarithmes. »

n faut convenir que, pour un esprit qui ne savait pas ce qu'est l'imaginaire en lui-même, il y a dans ces phrases une remarquable intuition de ce qu'il devait être un jour; ce passage n'est-il pas une véritable prédiction du rôle que le progrès des sciences lui assurerait dans l'avenir, et ce que nous venons