CHAPITRE X

DES PRINCIPALES LOIS QUI RÉGISSENT LES DIRECTIONS^ ET DE LA RE- PRÉSENTATION DE CES LOIS EN ALGÈBRE. OBSERVATIONS INCIDENTES SUR LES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

Sommaire. — J. La conception de la direction ne nous permet pas de la considérer conune divisible, accord de cette conception avec les formes algébriques qui représentent la direction. — II. Le passage d'une direction à une autre se fait en algèbre par la voie de facteurs de la forme

cos a -i- y — 1 sin a. — III. Interprétation géométrique des racines de Tunité pour tous les degrés. — IV. Explications sur l'ordre à suivre pour la supputation des directions. — V. Les angles sont les logarithmes des directions. — VI. Recherche de la base de ce système de logarithmes ; observations à ce sujet sur les développements en série. — VII. Exemples des inexactitudes auxquelles conduit l'application des séries qu'on considère comme donnant les valeurs des puissances du bindme pour les cas où l'exposant est négatif ou fractionnaire. — VIII. De la constitution du développement du binôme lorsque l'exposant est entier et positif, et des différences essentielles qui existent entre ce cas et tous les autres. — IX. Vices des raisonnements par lesquels on cherche à démontrer la généralité de la formule du binôme. — X. Recherche de la valeur du binôme pour les puissances entières et négatives, et nécessité de faire suivre le développement ordinaire d'une fonction finale. — XI. Nature et détermination de cette fonction finale. — XII. Avec la fonction finale toutes les inexactitudes ci-dessus signalées disparaissent. — XIU. De la fonction finale lorsque l'exposant du binôme est fractionnaire; concordance entre ce cas et celui où l'exposant entier est positif ou négatif.

— XIV. Généralité pour toutes les fonctions des Mis ci-dessus exposes.

— XV. Conséquences qui en résultent, soit pour la pratique, soit pour la théorie, soit pour le principe de l'indépendance et de l'invariabilité des formes des fonctions.— XVI. La base du système des logarithmes des

directions ne saurait être déduite de la formule e* ^~* =cos a -t-y'— 1 sia a. •— XVII. Discussion à ce sujet et fausses applications à des valeurs imaginaires de propriétés qui ne sont démontrées que pour des valeurs réelles.