CHAPITRE X

— XVIII. Nouvelle formule à substituera celle d'Euler, et conséquences à en déduire pour la base du système de logarithmes des directions.

La conception naturelle que nous avons de la direction ne nous permet pas de comprendre qu'elle soit divisible; il nous est impossible de nous rendre compte de ce que serait une fraction d'une direction donnée. L'angle qui la détermine est éTidemment susceptible d'être divisé; mais ce que nous obtenons alors par ces divisions, ce sont des directions nouvelles. Ce ne sont plus les diverses parties de la première. Une direction forme donc un tout unique et indéfini qui ne saurait être dépouillé de cette considération de Finfini^ ce qui ne permet pas de pouvoir en prendre une partie ; du moment où nous voudrions lui imposer une limite^ ce ne serait plus la notion seule de la direction que nous aurions dans Tesprit^ ce serait son association avec celle de longueur^ et c'est sur celle-ci que devrait s'appliquer la conception du fractionnement. Toute idée d'augmentation ou de diminution de la direction est donc antipathique à la raison; on ne peut que passer d'une direction à une autre, on ne les fractionne pas plus qu'on ne les multiplie. Il résulte de là qu'il devait être impossible que la représentation algébrique de la direction fût numérique^ car, s'il en avait été ainsi^ en divisant le nombre^ nous aurions divisé la direction^ ce qui est impossible. Aussi^ dans cette représentation, tout est rapport et opération; cos a est un rapport^ sin a

est également un rapport^ v^ — i est une opération. En outre, ces deux rapports sont nécessairement liés l'un à l'autre; enfin tous ces rapports et opérations^ pour une même direction, sont invariables et conviennent au même titre à tous les points en nombre infini qui appartiennent à cette direction; ils ne changent que lorsqu'on passe de l'une à l'autre. Une faudrait pas d'ailleurs dire qu'on peut cependant concevoir qu'on prend la moitié, le tiers, le quart de cos a et sin a; cela n'est pas impossible^ sans doute^ mais ce qu'on aurait alors ne serait plus une direction^ car le caractère essentiel de la représentation de celle-ci consiste en ce que les deux parties réelles du bi-

nôme qui y est employé doivent être les cosinus et sinus d'un même angle; or, si cosa et sina jouissent de cette propriété,

COS a . sin a , . . . . . , ,.

et n en jouissent jamais, quel que soit m, puisque

la somme de leurs carrés ne peut devenir égale à i que lors-* que m est lui-même égal à l'unité.

Il y a donc complet accord entre la conception que nous nous faisons de la direction et les formes algébriques qui la représentent : la première, par le prolongement infini de la direc* tion, nous défend d'admettre qu'elle soit divisible, et les secondes à leur tour, lorsque nous voulons y introduire la division, perdent le privilège d'être le représentant des directions.

La seule idée raisonnable qui vienne à Tesprit, lorsque dans ce champ infini de la direction nous voulons introduire des limites, est pelle de la longueur, et nous avons ainsi la complète intelligence de ce qu'est une longueur placée sur une direction : ce que nous appellerons, pour abréger, longueur dirigée; nous formons ainsi un être complexe dont une partie jouira des propriétés inhérentes à l'attribut de continuité, dont l'autre possédera celles qui appartiennent à l'attribut de direction qui, par conséquent, dans son ensemble, sera mieux doué que ne le sont isolément les éléments qui le constituent et possédera, par suite, une plus grande puissance de réalisation. C'est ce que nous expliquerons dans le chapitre suivant; mais avant de passer à cet examen nous devons nous édifier sur les propriétés principales des directions considérées indépendamment de toute idée de longueur.

Il résulte de ce que nous venons de dire que les seules spéculations à faire sur les directions consisteront à déterminer les moyens de passer des unes aux autres et à tâcher de connaître le rapport qui peut exister entre une direction quelconque et l'angle qui la détermine.

Or, le fait essentiel duquel doivent dépendre les études dont nous allons maintenant nous occuper consiste en ce qu'une droite qui fait un angle « avec la ligne de base détermine une direction qui est algébriquement représentée par l'expression

COSa+y^ — I sina.

U est d'abord évident que cette expression renferme comme