CHAP1TIK9 X

cas particQlier tout ce que nous sayons déjà des directions positives, négatives et perpendiculaires. Pour la première^ l'angle « est nul et l'expression se réduit à+ i ; remarquons, en outre, que pour un angle ég^l à un certain nombre de fois la circonférence , on doit retomber sur la direction qui sert de point de départ, et en effet on a toujours

cos2Kiç + V"^sin2K7c= i.

Pour la direction négative il faut prendre qn angle it, ou plus généralement (2 K + i) ir, et dans ce cas la valeur de

cos (2K+ 1) ic + v^^ sin(2 K + i) r

est constamment — i.

Enfln, pour la direction perpendiculaire» c'est à Tangle

±^ ou f 2K ±- jTc qu'il faut avoir recours, et alors on trouve

que l'expression

cos/'2K±i) ic + v^=7sin (aKzh^V

est égale à ± ^I^suivant le signe adopté pour la fraction-.

La direction opposée à celle de l'angle « sera d'une part le négatif de cos a + v^ — I sin ot^ d'autre part celle qui correspond à l'au'gle OL + Tç, et l'on a, en effet)

cos (a + it) + ^^ sin (a + ic)=— (cosa + v'^ sin a).

Nous n'insisterons pas davantage sur ces vérificatioDS, conséquences particulières et nécessaires d'un principe généralement établi.

Considérons maintenant deux directions, Tune faisant un angle « avec la ligne de base, l'autre faisant un angle p avec la première.

Comme la seconde fera un angle « + p avec la ligne de base^ sa représentation algébrique sera

cos (a -h P) -1- v^^ sin («4- p)*

D'un autre côté^ les deux directions considérées étant séparées entre elles par un angle p, on passera^ en vertu du principe général^ de la première à la seconde en faisant usage

du facteur cosp+/^sinp. Or, comme déjà la première par rapport à la ligne de base est exprimée par le facteur

cosa+ v"^ sin a, il s'en suit que la seconde par rapport à cette même ligne devra être représentée par le produit

(cos a + yCTï sin a) (cos p + V^--! sin p) . On devra donc avoir

(cos a + v^^ sin a) (cos p + v^'-^sin p)

=: cos (a + p) + v^^ sin (a + p),

relation de laquelle, en égalant séparément le réel au réel, et rimaginaire à l'imaginaire, on déduit immédiatement les formules de la Trigonométrie rectiligne qui donnent les cosinus et sinus de la somme de deux angles, au moyen des rapports trigonométriques de ces angles.

Il n'est pas inutile d'insister encore une fois sur la remarquable appropriation de la forme cos a+ y^— i sina à la représentation des directions. Non-seulement cette forme possède le privilège de correspondre exactement à la notion que nous pouvons nous faire de la direction considérée en elle-même ainsi que noua l'avons constaté dans ce qui précède, mais elle possède celui d'être parfaitement appropriée^ lorsqu'on l'emploie en qualité de facteur, à l'expression des rapports qui lient les directions les unes aux autres; il fallait en effet, à ce point de vue, que la forme de fonction /'(a) employée à cet usage fût telle que le produit n«)X/'(p) fût une direction, c'est-à-dire que la partie réelle de ce produit fut le cosinus d*un certain

angle dont le sinus serait égal à ce qui multiplie y — i dans la partie imaginaire : sans cela ce produit n'aurait pas représenté une direction, et il était en outre nécessaire que cet angle fût précisément égal à a + p. Or, ce n'est que parce qu'il existe en algèbre des formes de fonctions qui jouissent en effet de la propriété que f(^)Xf(P) est égal à Aa+p) qu^ cette science est susceptible de nous donner des rapports algébriques qui sont l'équivalence même des lois naturelle^ qui relient entre elles