CHAPITRE X
les directions. L'importance de cette observation saisira tous les esprits parce qu'elle devient une application concrète^ et pour ainsi dire évidente des propriétés abstraites antérieurement reconnues pour les expressions de la forme
COSa + v'—I sina.
Nous reviendrons d'ailleurs sur ce sujet lorsque nous procéderons à la recherche des lois qui relient Tangle à la direction.
En introduisant maintenant une troisième direction, séparée de la seconde par un angle y» 1& représentation de cette direction par rapport à la ligne de base pourrait être faite^ soit par
cos(a4-P + y)+v/=7sin(a + p+Y), soit par
(cosa + V^sina) (cosP + V~i 8inP)(cosY+v''-^ siny),
et de l'égalité de ces deux expressions on déduirait la valeur des cosinus et sinus de la somme de trois angles.
Pour un nombre quelconque n d'angles ol^, a„ a,,. . .^on^ on aurait la relation générale ,
cos (a, + 0, + ... + a») -t- }f^i sin (a, -{-a,-f ...-ha„) = (cosai+V--î sinat)(cosaiH-^^isina,)...
X (cos «» + V^ sin Om),
à l'aide de laquelle on connaîtra les cosinus et sinus de la somme de tant d'angles qu'on voudra^ au moyen des rapports trigonométriques de ces angles.
Si au lieu des cosinus et sinus de la somitie de plusieurs angles on voulait connaître ce qui concerne les tangentes, il suffirait de remarquer que l'expression de la direction peut être
mise sous la forme cosa(i -f- V^i tanga) ; dès lors^ pour deux angles « et p, on aurait la relation
cos «cos p(i-fV--ï tanga) (i + \P^ tangp) = cos(a.fP)[i + v/^tang(a+p)],
d'où Ton déduira la double condition
tang(a + p) =^^1^5 (^"« * -^ ^« ^^' cosacosS, . . Q,
âiO PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS.
et, parsuite,
tang(. + p)=*ÎM^±^;
on appliquerait d'ailleurs ces calculs à tant d'angles qu'on voudrait.
Nous n'insisterons pas sur ces détails, qui n'ont d'autre intérêt que celui de transformations algébriques ordinaires que chacun pourra pratiquer.Mais nous constaterons^ au point devue des principes^ que la conséquence immédiate de la représentation algébrique des directions à Taide des fonctions trigonométriques était et devrait être la constitution générale de la trigonométiîe rectiligne^ puisque cette théorie est celle des angles et que Pangle, à son tour^est déterminé par la direction. Il suffisait donc que les fonctions trigonométriques qui figurent dans Vexpression des directions fussent définies pour que toutes leurs propriétés résultant de la variation des angles et des directions pussent être établies.
Si maintenant on suppose que les divers angles a^, a,,...^ a. au lieu d'être différents deviennent tous égaux, le produit des
n binômes cosai+ /^sin a sera égal à la n"^^^ puissance de l'un d'eux, de sorte que
(COS a + V'^Sin a)*
représentera la direction à laquelle on arrive lorsqu'on a répété n fois l'angle a; m^s^ parce que le résultat de cette répétition est nui, la direction finale aura également pour expression
cosna+^— î sinna,
d'où il suit qu'on doit avoir
(cos a + ^^ ^in o)*=:cos n a + v/^ sin n a.
La vérité de cette formule est donc^ ainsi que nous l'avons déjà donné à entendre^ une conséquence toute naturelle d'une conception géométrique fort simple.
On voit quMl sera toujours très-aisé, lorsqu'on connaîtra les directions correspondant à plusieurs arcs, que ceux-ci soient inégaux ou égaux, d'obtenir la direction qui correspond à la
