CHAPITRE X

Pour déterminer la constante c, il suffira de connaître ce qui a lieu dans un cas particulier. A cet effet, supposons qu’on arrête le développement au premier terme, qui est égala l’unité, et pour lequel on aura par conséquent Ap=i, p=o, il viendra

or, la valeur générale de F (z) devient dans ce cas

mais on a

— (i -f-2)"*“'dz=— (i I ,

et par suite

substituant cette valeur dans l’équation (i) on trouve que celleci, pour être satisfaite, exige que c soit nul. Nous pourrons donc définitivement écrire

et telle est l’expression dont il faudra faire suivre le développement ordinaire de -, — lorsqu’on s’arrêtera au terme en z^ (« + =)’”

pour que ce développement, ainsi complété, soit l’équivalent théorique et exact de — r-r--

Avant de nous expliquer sur les conséquences remarquables auxquelles conduit la considération de la fonction finale, faisons voir comment, avec l’emploi de celte fonction, s’évanouissent toutes les anomalies ci-dessus signalées.

Nous avons constaté, par exemple, que lorscjuc dans le dé-

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

üi“2

veloppeinent ordinaire on suppose m=i, -^i, on arrive à celte conséquence reprochée à Leibnitz et à Euler

or, pour la valeur de m— i, la fonction ünale devient

et simplement — Ap^ lorsqu’en même temps z est égal à i.Cela

posé, lorsqu’on s’arrête à un terme de rang pair pour lequel

Ap— — I, la fonction finale se réduit à - , et comme alors tous

les termes antérieurs du développement s’annulent d’eiixnièmes, il ne reste plus, au lieu d'une contradiction, que l’i-

dculité ^ i . Si l’on s’arrête à un terme de rang impair pour

lequel Ap=i, la fonction ünale se réduit à — ^ , mais alors

tous les termes du développement se détruisent mutueUement, sauf le dernier, qui est + 1 ; le second membre prend donc la

valeur i — ^ , qui est encore exactement celle du premier.

Supposons, en second lieu, que m = 2 ; on aura alors pour la fonction ünale

-jrt-I

valeur qui, pour la supposition que z = i, se réduit à

ap + d

Cela posé, nous avons trouvé que, dans les mêmes circonstances, le développement ordinaire conduit au résultat inad-

missible