CHAPITRE X

or, si l’on s’arrête à un terme de rang pair ap', Ap sera égal à — et la somme du développement jusqu’à ce terme sera

— p'; on aurait donc le résultat impossible ^ = — p', qui s’éloigne d’autant plus de la vérité que est plus grand. Mais nous allons voir que l’emploi de la fonction finale va rétablir l’identité.

En elfet, p étant égal à a p' — i , et Ap à — a p', on aura

kr

ap + 3 a’ (p -f I)

moyennant quoi l’impossibilité ci-dessus disparaît etestrem- [)lacée par une identité.

Si l’on s’arrête à un terme de rang impair a p' + i le coellicient ApSera égal -j-(a p'-f i), et la somme du développement

aura pour valeur p' -f i; on aurait donc i = p/ -}- i, résultat tout aussi inadmissible que le précédent; mais alors on trouve pour la fonction finale —p ' — cette valeur, ajoutée à celle

p'-f-i du développement réduit à i le second membre, qui devient ainsi l’équivalent du premier.

Nous ne pousserons pas plus loin ces vérifications qui n’exigent d’autres procédés de calcul que ceux dont on fait journellement usage.

Si pour l’exposant fractionnaire on procède à des recherches semblables à celles que nous venons de présenter pour l’exposant négatif, on arrive aux mêmes conséquences; le développement à lui seul ne donne que des résultats erronés, et c’est en le faisant suivre d’une fonction finale qu’on obtient entre les deux membres l’équivalence obligée. Comme entre ce

PRÜHRIÉTÊS DES DIRECTIONS.

cas et le cas précédent, il y a analogie complète soit pour la marche des calculs, soit pour la nature des raisonnements, nous nous dispenserons de reproduire tes uns et les autres. Nous nous bornerons à constater que la nécessité d’une fonction finale est la conclusion de ces nouvelles recherches. On se convaincra que si l’on ne la faisait pas intervenir, le développement à lui seul ne pourrait être la valeur exacte de (i -l- 2 )‘ que sous la condition que le terme auquel on s’arrête devrait avoir un rang fractionnaire, ce qui n’est ni plus pratique ni plus concevable qu’un rang négatif. Quant à la valeur de cette fonction, elle se présente sous la forme

Cette valeur doit évidemment avoir une relation obligée avec celle que nous venons de déterminer pour le cas de l’exposant négatif. 11 est en effet nécessaire que la première devienne la

seconde et réciproquement, lorsqu’on supposera que — f».

Un rapprochement non moins intéressant est celui auquel on est conduit lorsqu’on suppose que, dans cette fonction, l’exposant fractionnaire ^ est égal à un entier positif m. Dans ce cas, l’expression ci-dessus se transforme ainsi qu’il suit ;

F (Z) = (I 4- =r Ap (m -PI J ^ rf--

Or, comme nous savons qu’alors le développement est fini et qu’il se termine lorsque p prend la valeur m, il faut que, pour cette même valeur, F (s) soit nul. C’est ce qui arrive en effet à cause du facteur m—p qui y figure. Mais, pour les valeurs de P inférieures à m, la fonction doit subsister, puisque, pour toutes ces valeurs, le développement reste incomplet. Nous savons par exemple que, lorsqu’on s’arrête à l’avant-dernier terme, c est-à-dire lorsque p est égal a (m — i), ce qu’on doit ajouter est le tenue il faut donc que devienne dans cette hypothèse la valeur de F (a).