CHAPITRE

En effet ayant alors Ap — m etm — p = i, il viendra

or, en divisant par les deux termes de la fraction qui est sous le signe de l’intégration, elle devient

et l’on reconnaît alors aisément qu’elle est la différentielle

exacte de

; on aura donc

ainsi que cela doit être.

Nous n’insisterons pas davantage sur ces vérifications.

La résultat définitif de ces études est que, pour tous les cas où l’exposant du binôme sera réel.quecet exposant soit entier, fractionnaire, positif ou négatif, la forme de la fonction finale sera généralement représentée par l’expression

F(z) = (i -l-srAp(m — P) (h ,

dans laquelle il ne s’agira plus i|ue de remplacer tn par la valeur particulière qu’on lui aura attribuée.

Disons maintenant que des circonstances semblables se présenteront pour toutes les expressions algébriques dont on ^ voudra former les développements; que toujours le développement à lui seul sera insuffisant pour représenter la valeur de l’expression et que l’égalité théorique de celle-ci ne s’obtiendra qu’en ajoutant à ce développement une fonction finale.

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

Par exemple, pour l’exponentielle a‘, si l’on arrête le développement au terme Apz’’, on trouvera que l’équivalence cherchée ne peut s’obtenir que par l’addition d’une fonction de z ayant la valeur suivante

nous représentons par la notation p ! , conformément à un usage qui tend à se répandre de plus en plus, le produit des nombres de la suite naturelle compris de i à p inclusivement.

Pour lafonctioii logarithmique la fonction finale delog(i-+-z se présente sous la forme

a ét lut le logarillime du nombre e dans le système dont on s’occupe.

L'étude de la fonction logarithmique, au point de vue de son développement, donne lieu à d’intéressantes remarques, mais nous ne pouvons que les signaler sommairement.

On constate alors que log z ne peut pas être développé en une série ordonnée suivant les puissances de z, savoir:

Aj-f-AiZ-t-AjZ*-!-...,

car, lorsqu’on veut essayer cette forme, on trouve que tous les coefficients devraient être nuis, ce qui fait disparaitre le développement. Dès lors il n’est pas possible qu’on trouve pour F (z) autre chose que log z. En effet, dans ce cas, p étant nul (lès f abord et i -f- z devenant z, cette fonction se présente sous

la forme

qui donne immédiatement jx/z et jiar suite

logz.

La supposition que les coeffîcientssont alternativement l’infini positif et l’inflni négatif conduit encore à l’anéanlissement devenu nécessaire du développement. Si nous faisons cette observation, c’est que la formule qui donne le logarithme de z en fonction des puissances de z — i et qui est, comme on sait.

logz

présente en effet celle singulière circonstance.

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