CHAPITRE X

Car, lorsqu’on développe les puissances de z—i et qu’on ordonne le résultat par rapport à z , le premier coefficient A» a

pour valeur une série dont le terme général est — ^ et qui est

par conséquent égale à l’infini négatif; le coefficient de z est également une série ayant pour terme général -f- 1 et représentant l’infini positif; pour le coefficient de z’, le terme géne-

fl

ral de la série est — -; pour le coefficient de z’, le terme gé-

néral est ^ ; pour le suivant, il est — - **

et ainsi de suite. Nous ne saurions donner ici à ces remarques toute la suite qu’elles comportent, et nous nous bornons à les indiquer.

Lorsqu’on soumet les fonctions circulaires à des investigations de même nature, on est conduit à des conséquences analogues. Les fonctions finales s’obtiennent alors par l’intégration d’une équation différentielle linéaire du deuxième ordre, ainsi conçue :

au reste, dans ce cas la recherche du développement de cos z-f- I sin z conduit au but plus directement que si l’on voulait déterminer séparément ceux de cos z et de sinz. On trouve alors une série à termes réels et à termes imaginaires dont les premiers appartiennent au cosinus et les seconds au sinus.

Quant à la fonction finale, lorsqu’on s’arrête au terme en z>>, elle revêt la forme

et il ne s’agit plus que d’y faire la séparation du réel et de l’imaginaire pour attribuer le premier au cosinus et le second nu sinus.

Cette séparation aussi bien que tous les calculs précédents sont faciles en s’appuyant sur la proposition suivante, qui sera

3i8 PROPRIÉTÉS DKS OIRRCTIONS.

démontrée tout à l’heure et qui consiste en ce que l’expression d’une direction quelconque cos 5 + V— I sin Z est égale, non pas à comme on l’a écrit jusqu’à présent, mai? à

y — I En vertu de ce théorème on a ces deux relations :

(v/^)’=cos^s-hV^ (v^) ’=cos^5 — V~i sin^;

elles permettront donc très-facilement de faire sortir en dehors du signe intégral et dès lors on obtiendra sans peine, pour chaque valeur de p à laquelle on voudra s’arrêter, la séparation du réel et de l’imaginaire : le premier sera la fonction ûnale pour le cosinus; le second, dépouillé du facteur V — I, sera la fonction ûnale pour le sinus.

Nous nous bornons à ces indications générales qui sont suffisantes pour faire comprendre ce qu’il y a d’essentiel dans le ’ sujet que nous venons de soumettre à l’appréciation du lecteur.

Ces divers faits ainsi constatés, déduisons-en les principales conséquences.

Au point de vue pratique, la considération de la fonction finale permettra de décider s’il est possible que le développement soit fini, c’est-à-dire s’il y a une valeur de p pour laquelle celte fonction devient nulle ; c’est ce que nous avons constaté pour le binôme dans le cas où l’exposant entier est positif. Dans les circonstances où il sera reconnu que la fonction finale est une quantité très-petite et le devient de plus en plus lorsque p augmente, étant parvenu à une valeur de p en rapport avec le degré d’approximation qu’on veut obtenir, on pourra regarder cette fonction comme nulle et accepter le développement, limité à cette valeur de p, comme la représentation approchée de l’expression algébrique dont on s’occupe ; c’est ce qui arrive pour le binôme lorsque z est moindre que l’unité. Mais lorsque la fonction finale ne sera ni nulle ni décroissante avec p, ce n’est pas en dehors d’elle qu’il

OIIAPITBE.X. -2ifl

faudra chercher à obtenir la valeur de l’expression algébrique qui figure au premier membre.

Âu point de vue théorique, la fonction finale est le seul nioyen de faire disparaître les nombreuses contradictions qui se manifestent lorsqu’on se borne à la seule considération du développement ; elle introduit entre les deux membres de l’équation l’équivalence qui sans elle ferait défaut ; et nonseulement elle rélablit entre ces deux membres l’équilibre numérique, mais encore celui des formes algébriques. Celles-ci en effet, sous les apparences constamment les mêmes que présentent des développements procédant suivant les puissances de la variable, cesseraient d’être distinctes, et revêtiraient toutes invariablement la même physionomie et la même constitution. Or, la fonction finale, et c’est là un de ses plus remarquables enseignements, nous apprend (|u’il n’est pas possible que les choses se passent ainsi; elle nous fait voir que les diverses formes de fonctions algébriques ne sont pas susceptibles d’être ramenées à la forme unique des développements sériaires. Si, dans quelques circonstances, ces développements peuvent en donner la valeur numérique, ils sont inha’niles à * remplacer la spécialité des opérations qui constituent une fonction quelle qu’elle soit. Celle-ci reste par conséquent toujours distincte, de sorte qu’explicitement il n’est pas possible d’exprimer une fonction indépendamment de la forme même sous laquelle elle se manifeste et qui la caractérise.

Ainsi, par exemple, et sauf quelques cas tout particuliers, une exponentielle ne peut pas être égalée à une fonction algébrique proprement dite, un cosinus ou un sinus ne pourront pas l’être à un logarithme, et ainsi de suite; sauf, nous le répétons, pour quelques valeurs particulières de la variable, mais jamais pour la généralité de ces valeurs.

On remarquera en effet que les fonctions finales que nous venons de faire passer sous les yeux du lecteur sont invariablement constituées avec les formes mêmes des expressions algébriques qui ont produit les développements auxquels elles doivent s’ajouter pour que l’équivalence tliéorique existe. Ainsi la fonction finale pour (i-i-i)"*, quel que soit m, contient le facteur (i -+- s)"*; la fonction finale pour a* contient également «' et ainsi des autres. Or, lorsque dans celte fonc-

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

tion on développe l’intégrale qui y figure, il arrive que la valeur de celle-ci se manifeste sous la forme précisément inverse de la série qui la précède et qu’elle détruit, et il ne reste plus finalement que des identités de la forme

(H-z)“r=(i-f-s)'», vz=a% cosz = cosz,...;

d’où l’on est conduit à conclure que, quant à la forme, chaque fonction reste isolée dans la sienne, et qu’il n’est pas possible de représenter une espèce quelle qu’elle soit par une forme prise en dehors de celle qui lui est propre.

Ces faifs en expliquent beaucoup d’autres. Voilà pourquoi en particulier, lorsque, dans la résolution de l’équation du ;i"" degre, on cherche, à l’aide de fonctions purement algébriques, des racines qui ne peuvent être données que par la considération des fonctions circulaires, l’algèbre vient nous opposer une fin de non-recevoir. Des circonstances tout à fait semblables expliqueront l’impossibilité où nous sommes de résoudre généralement les équations des degrés supérieurs au quatrième. C'est à coup sûr parce que les racines de ces équations doivent être représentées par des fonctions autres que des fonctions algébriques. De sorte que le grand intérêt du problème se ramène aujourd'hui à découvrir quelles peuvent cire ces fonctions.

Nous demandons pardon au lecteur de cette longue digression qui estvenue interrompre notre exposé des propriétés des directions. Mais, dans un travail comme celui-ci, nous sommes assujetti à un ordre général qui ne nous permet pas d’introduire indistinctement où nous voudrions les divers épisodes qui se présentent, et nous sommes forcé d’accepter pour eux la place même que l’occasion vient leur assigner.

Reprenons maintenant la question que nous avons laissée en suspens et qui consiste à rechercher la base du système de logarithmes applicable aux directions. Nous avons dit que cette base ne pouvait être déduite de la valeur attribuée à cosa -f- v^— I sin a par Euler. Justifions cette assertion.

CHAPITRK X.

Ce qu’on peut dire de moins excentrique au sujet de la formule d’Euler, c’est qu’ayant remplacé, dans l’expression cosa-i-v^ — I sin a d’une direction, les cosinus et sinus qui y figurent, par les séries convergentes qui donnent leurs valeurs, on trouve identiquement

cos a -t- V — I sin a = iH î — ;

cela fait, on remarque (|ue ce développement est précisément celui qui représente en fonction de a la valeur de e* lorsqu’on suppose que a devient a v—i ; d’uù l’on infère qu’on peut sans crainte d’erreur attribuer à l’exponentielle la propriété de remplacer dans les calculs l’expression cos a + sin «.

Au point de vue de ce raisonnement, la valeur en série de gaV-i n’étant pas considérée comme une déduction logique , mais comme la simple manifestation des conséquences d’une supposition, cette formule en un mot n’étant qu’admise et non démontrée, et pouvant ne pas être vraie, il n’est pas possible de voir autre chose dans

— cos a -f- v' — I sin a,

que le résultat d’une hypothèse, qu’une convention. Ce ne serait qu’au cas où il serait rationnellement établi que le développement de continue de s’appliquer lorsque a prend la forme que la formule d’Euler serait vraie elle-même ;

or cela n’a pas encore été démontré. Jusque-là, nous le répétons, cette formule ne peut donc être considérée que comme une convention.

Certes, nous ne prétendons pas qu’on ne soit pas le maître de faire des conventions, mais ce sera à la condition qu’on ne les perdra pas de vue, qu’on se soumettra scrupuleusement à toutes les conditions qu’elles imposent. Or, tout cela n’est pas aussi facile qu’on pourrait le supposer, surtout lorsque ces conventions portent sur des indices qui, loin d’être étrangers à l’algèbre, ont reçu, antérieurement à ces conventions, la mission de représenter des fonctions ayant déjà une signification algébrique. Il y a là des entraînements dont il est à peu près impossible de se défendre.

l•llOHBIKTK8 DES DIRECTIONS.

xvn

xMais si, pour quelques esprits plus logiques que d’autres, il ne faut réellement voir dans la formule d’Euler qu’une convention, combien n’y en a-t-il pas qui y voient plus que cela et qui la considèrent comme une vérité ? Nous avons lu avec h plus sérieuse attention les leçons d’analyse professées à l’école Polytechnique par Navier, et nulle part nous n’avons trouvé un mot de réserve à ce sujet. Loin de là, partout le développement, non-seulement de e“ mais encore de est présenté comme théoriquement exact. Il est dit tcxluelli;ment que les développements de e^, sin x, cos subsistent lorsqu’on donne à l’arc x, une valeur quelconque imaginaire x=m-hn (p. ii5) et cela sans conditions, sans restrictions aucunes ; aussi l’auteur api>lique-t-il à ces formes, (|iioiqii’elles n’aient pas été définies et que par conséquent etles ne puissent être considérées que comme hypothétiques, toutes les règles de calcul qui n’ont été démontrées que pour les arcs réels et qui ne sont par conséquent autorisées (}ue pour eux.

xMais, à supposer qu’il fût vrai, comme on le dit, que les développements de sin x, cosx subsistent lorsqu’on donne à x une valeur imaginaire quelconque, quelle déduction légitime pourrait-on tirer de ce fait, si l’on remarque que ces développements ne sont pas les véritables valeurs théoriques Je e*, sin x, cos x1 Que pour qu’ils le deviennent il est nécessaire, ainsi que cela vient d’être expliqué, qu’on leur ajoute une fonction finale de X, très-dillérenle dans sa forme de celle des termes du développement, et qui par conséquent, en vertu de cette différence même, pourra fort bien interrompre le cours des analogies déduites seulement de ce qui se passe dans les parties sériaires de ces expressions. En fait, on n’agit pas sur les valeurs complètes de e*, sin x, cos x, mais sur une partie seulement de ces valeurs, et dès lors toute conclusion rigoureuse échappe. Cela peut être permis dans la pratique lorsque, la variable restant réelle, il s’agit d’obtenir des valeurs numériques approchées de ces expressions : on démontre que, dans ces circon-

CHAl'ITKli X.

stances, cette manière de procéder est légitime. Mais ne seraitce pas étrangement abuser de la faculté de procéder par induction que d’aller jusqu’à supposer que ce qui est permis pour le réel, et lorsqu’il s’agit de simples valeurs approchées, l’est également, non-seulement pour l’imaginaire, mais encore pour des valeurs qui n'admcltent plus les tolérances de l’approximation et que nous ne pouvons accueillir qu’exactes, complètes, constituées, en un mol, suivant les plus rigoureuses exigences de la théorie ?

En résumé, il n’est j)as possible de itréteudre que la forme acceptée pour la valeur de soit justifiée, et l’on ne peut

par conséquent faire d’autre concession que celle que la formule d'Euler ne doit être admise que comme une convention, et même une convention qui n’intéresse que la partie sériairc de celte valeur. C’est la première proposition que nous avons émise, passons maintenant à l’étude des conséquences.

Le caractère propre de la fonction cosa i sin a, c’est qu’elle ne change pas lorsqu’on augmente l’arc a d’un nombre quelconque de circonférences. Il faudrait donc que sa représentation exponentielle jouît de la même propriété et qu'on eût par conséquent

et ainsi de suite, d’où l’on déduit en supprimant le facteur commun :

Or, comme en définitive ces diverses expressions sont des nombres variables et réels

élevés à la même puissance ^ — i , on a en vérité de la peine à comprendre comment tous ces nombres, différents les uns des autres, traités par la même opération, pourraient donner un résultat uniforme égal à l’unité. Ce qu’il y a de certain, c’est (|ue, lorsque des racines sont réelles, comme c’est ici le cas, nous n’avous aucune opération dans la science qui puisse nous donner la moindre idée d’une semblable conclusion, si ce n’csl lu

PROPRIÉTÉS DES DIRECTIONS

puissance zéro. Nous serions ainsi porté à dite que / — i doit être l’équivalent de zéro, et c’est ce que personne ne sera disposé à admettre. Et comme, d’un autre côté, il ne serait pas plus raisonnable de prétendre que ce sont les exposants 21 T, 4^, ....aAir qui sont nuis, il en résulte que l’exponentielle -< n’aurait pas toute la généralité que comporte l’expression cos a -f- ^ — 1 sin a ; elle ne lui serait équivalente que dans un cas, et en différerait dans tous les autres, qui sont en nombre inflni. Concluons donc de là qu’il faudrait tout au moins que l’opération d’élever un nombre réel à la puissance du degré »/-- r fût préalablement définie pour que nous pussions avoir confiance dans l’équivalence complète de la forme avec celle de cosa-i-y — i sin a. Or, c’est précisément là ce qui fait défaut, et c’est par ce motif que, dès le début de cette discussion, nous avons élevé des doutes sur l’exactitude de la formule d’Euler.

11. est donc bien difficile, même en l’acceptant comme convention, de comprendre qu’elle puisse posséder toute la généralité qui appartient à cos a -t-y — i sina et qu’elle jouisse par conséquent de la propriété d’en être la représentation. Dans tons les cas, cela n’est pas prouvé.

Pour les géomètres qui considèrent que le développement de «“ en série continue de subsister comme vrai lorsque a devient a y' — i et qui par suite sont obligés d’admettre qu’il est permis d'élever une expression quelconque à la puissance imnginaire V — >> ü '-’st facile de leur prouver que cette manière de concevoir les opérations en algèbre conduit directement à une impossibilité. En eflèt, dans la suite d’égalités

qu’on élève tous les membres à la puissance V — i, et l’on aura

conséquence complètement inadmissible. Quant à ceux qui ne considèrent la formule d’Euler que comme une convention, il n’est pas facile de les convaincre de leur erreur par le même