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Il ne nous paraît donc pas possible d’attribuer une valeur théorique acceptable à la formule d’Euler, et puisque d’ailleurs nous avons été conduit à reconnaître que la représentation des directions doit pouvoir être égalée à l’exponentielle de l’angle, examinons si sans recourir à d'autres moyens que ceux aulo-

256 l'IlOPHlKTÉS DES DIRECTIONS.

lisés, il n’est pas possible de déterminer la valeur de ceUe exponentielle.

Il est évident qu’en prenant pour se une valeur très-petite, il est permis de concevoir que toutes les directions seront représentées par les puissances successives de cos a + \J — i sina, et cela sera d’autant plus vrai que la valeur de a sera moindre. Nous voyons d'après cela que les représentations algébriques ' des directions peuvent être considérées comme formant une progression par quotient^ dont la raison est l’une d’elles, de même que les arcs forment une progression par différence dont la raison est celui-là même qui correspond à cette direction : voilà donc deux progressions exactement constituées comme le sont celles qui pour les nombres nous conduisent à la considération des logarithmes , la première commençant par l’unité et la seconde par zéro; or l’on sait que la base d’un système est le nombre qui correspond à l'unité dans la progression par différence; cela posé, si les arcs sont toujours représentés par leur longueur évaluée en fonction du rayon dans une circonférence pour laquelle ce rayon est runilé, - l’arc unité sera donc celui qui a pour mesure l’unité linéaire; il est un peu plus grand que 07 degrés. Nous pourrons donc dire que la base du système des logarithmes pour les directions est égale à cos i -4- v' — i sin i ; l’on aura en conséquence, pour un angle quelconque a,

(cos I + v'— I sin i)»=(cos a-t- y — 1 sin a)

résultat tout à fait concordant avec le théorème de Moivre.

Mais on peut remarquer, qu’en vertu du même tliéorème, cos 1 -j- V — I sin I est la même chose que

fcos^-l-v' — *®*'*2/ (v^~0 ,

de sorte que nous pourrons dire que la base cherchée est cette dernière expression, et qu’on est par conséquent autorisé à substituer à la formule non démontrée d’Euler, la suivante :

lî

fy— 'J) =:cos«H-v' — isina,