CHAPITRE XI

(|u'il peut s’élever à des considérations d’un ordre plus élevé, et que, de même que dans la nature les faits divers que nous sommes en mesun- d’observer ne sont pas toujours la conséquence d’un attribut unique, mais celle du fonctionnement de plusieurs d’entre eux, de même nous sommes conduits à nous demander si la science du calcul, qui se prête par (juelquesunes de ses formes à nous donner les équivalents de chaque attribut, ne se prêterait pas aussi, par le mécanisme de ses opérations appliqué à ces formes, à reproduire exactement dans le calcul les effets mêmes qui, dans l’ordre naturel, sont la conséquence du jeu simultané des attributs mêmes.

Pour bien faire comprendre notre pensée, faisons-en l’application aux considérations de la géométrie.

Dans cette science, les longueurs et les directions jouent un rcMe important et continuel. Or si l’on étudie ce qui concerne la longueur, indépendamment de toute idée de direction, on ne sortira pas de la ligne droite; on passera sur cette droite d’une longueur à une autre; on éliminera par le fait la considération de l’angle et on n’aurait ainsi qu’une géométrie fort restreinte. Si, d’un autre côté, on veut se borner à la considération des directions, on sera réduit à l’idée d’êtres indéfinis, on ne pourra que passer de l’un à l’autre, et l’élimination de la longueur ne nous laissera que la conception d’une géométrie non moins restreinte que la précédente.

Mais si, combinant l’idée de continuité avec celle de direction, c’est-à-dire la longueur et l’angle, on étudie les consé- (|uences de cette combinaison, on ne tarde pas à reconnaître qu’elle acquiert une puissance de production inouïe; qu’elle donne naissance à la conception des contours ouverts ou fermés de toute sorte, à celle des courbes, des surfaces, des volumes, de leurs intersections diverses, en un mot à celte multitude d’espèces et de formes i]ui constituent le domaine de la géométrie tout entière.

On comprend, d’après cela, que si dans les calculs on avait des expressions collectives équivalentes à la combinaison de la longueur et de l’angle, à ce que nous sommes convenu d’appeler la longueur dirigée, il n’y aurait rien de plus facile que d’obtenir par l’algèbre la reproduction des constructions géométriques faites avec ces longueurs dirigées, et de connaître

2üO DE LA COMBINAISON DE l’aTTRIBCT, ETC.

ainsi toutes les lois résultant de ces constructions quelles ' qu’elles fussent, sans même qu’il y eût nécessité d’avoir une flgure sous les yeux : il suffirait que le mode de construction fût bien défini.

Or ce que nous avons dit de la représentation des directions nous donne la réalisation immédiate de cetle idée. En effet, si une longueur r est supposée placée sur la direction déterminée par l'angle a, comme il a été établi qu’une direction ainsi définie a pour équivalent algébrique le facteur cos a-t- V — I sin a, on en conclura que toutes les conditions auxquelles se trouve soumise la longueur en question se trouvent combinées dans l’expression

r (cos a-t-y' — i sin a),

dans laquelle, d’une part l’élément r relatif à la longueur est ce que nous proposons d’appeler le continu, d’autre part l’élément

cos a+ y' — I sin a

relatif à la direction est ce que nous proposons d’appeler le directif.

Ce point de départ ainsi établi, c’est avec la plus grande simplicité qu’on peut faire suivre à l’algèbre foutes les évolutions des figures de géométrie, et il suffira de quelques explications préliminaires à peu près évidentes pour indiquer par quels moyens se pratiquent ces faciles et remarquables passages de l’une à l’autre.

Soit toujours O le point que nous prenons pour origine, et OD la ligne de base; si une droite passant par O fait avec cette ligne un angle 6, sa direction sera

cosô-t-y — isinfl,

et l’expression d’une longueur quelconque r comptée sur cette