CHAPITRE XI

droite à partir du point 0 sera

r (cos6-f-V — I sine).

En donnant à r toutes les valeurs comprises depuis O jusqu’à 1 infini, cette expression, où 0 reste constant, représentera toutes les longueurs dont l’existence est possible sur la direction 0, et servira également à exprimer tous lés points de la droite. Quant aux longueurs et aux points qui seraient situés sur la même droite, au-dessous du point O, il faudra prendre pour eux la direction inverse de la précédente, c’est-à-dire — (cosO-î-V— I sinO), de sorte qnc l’expression de ces points et longueurs sera

— r(cos6-t-v' — 1 siu6).

Si à la variation de r on joint celle de 0, il n’y a pas de point du plan qui ne puisse être représenté par cette expression.

Si au contraire on considère r comme constant, et qu’on fasse varier 9 de o à 2 tc, on aura l’expression de la circonférence de centre O et de rayon r.

Si enfin, avec la même variation de 0, on permet à r de prendre toutes les valeurs comprises de o à r, on aura l’expression commune à tous les points de l'intérieur de la circonférence de rayon r.

On doit comprendre déjà combien seront précieuses et fécondes les ressources que la représentation algébrique des droites dirigées nous offrira, pour nous rendre compte de tout ce que ces droites sont susceptibles de créer en géométrie. Donnons-en immédiatement une idée par un exemple fort simple. Supposons qu’à partir du point O on a pris sur la ligne de base une longueur OA, que pour abréger nous désignerons par a, et qu’on demande de construire sur OA un triangle, dont le côté passant par O soit égal à c, et dont le côté passant par A soit égal à b. Désignons, comme on le fait d’habitude, par a, p, y, les angles de ces triangles opposés respectivement aux côtés a, b, c. La direction du côté b sera

cos(7u- y)-|-v/ — isin(TC— y) ou — cosy-t-v— i sin y;

202 niî LA combinaison de l’attribut, etc.

celle du côté c sera

cos fi V — ï sinfJ, et il faudra que le chemin dirigé

a + 6{— cosy + v'— I siny) soit égal au chemin dirigé

c (cosfi-t-y' — I sinfi :

de là on déduit, eu égalant le réel et l’imaginaire, a— b cosY=c cosp, h siny=c sin fi,

et le problème se trouve ainsi immédiatement résolu. Il ne • s’agira plus ()ue de tirer de ces deux équations, par les moyens ordinaires, les valeurs des sinus et cosinus des angles p et y, en fonction des trois côtés o, b etc. La seconde équation donne la relation bien connue entre les sinus des angles et les côtés opposés ; faisant ensuite la somme des carrés, on a la seconde relation connue

a'—nab cosy+ô’=c% d’où on déduit la valeur de cos ÿ.

Mais avant d’aller plus loin, il est nécessaire de bien fixer les idées sur la manière de compter les arcs et les directions, et sur les rapports que ce mode de comptage établit entre les uns et les autres.

Les arcs se comptent sur la circonférence de rayon i, ayant son bentre à l’origine et à partir du point où cette circonférence est coupée par la ligne de base; ceux qui s’élèvent au-dessus de cette base étant considérés comme positifs, ceux qui sont situés en dessous, et qui marchent en sens inverse, doivent nécessairement être considérés comme négatifs. La représentation algébrique des arcs sera donc toujours ± a-