CHAPITRE XI

Uiiant iV la direction, c’est celle de la lij^ne droite qui partant de l’origine aboutit à l’extrémité de l’arc a, et l’on voit (ju’à l’aide de la variation de a, il n’est pas de direction autour du point O qui ne puisse être précisée par ce moyen.

Ces directions, nous l’avons Vu en effet, sont caractérisées par la fonction

cos a -f V — I sina

de l’angle a.

Remarquons d’ailleurs qu’on pourrait se passer, en vertu du principe d’évolution inhérent à la circonférence, de la considération des arcs négatifs, car en partant du point A je pourrai aboutir à un point quelconque de la circonférence sans changer le sens du mouvement. Si, en effet, au lieu de marcher à ' rebours à partir du point A par le chemin circulaire a, je marche directement à partir de ce même point sur le chêmin circulaire 2it— a, j’arriverai au même point. Qu’on opère d’une manière ou d’une autre, il ne restera pas de confusion si l’on s'est bien fixé à l’avance sur le sens dans le(|uel il faudra appliquer dans chaque cas les cosinus sur la ligne de base, à partir de l’origine, et sur celui que devra recevoir le sinus perpendiculairement à cette ligne.

Il convient enfin de remarquer que si, au point de vue de l’origine, la position d’un sinus considéré isolément reste indécise, il n’en est pas ainsi dans l'expression cosa-t- y — i sina, parce que d’après cette expression la distance du sinus à l’origine est toujours indiquée et précisée par la grandeur de cos a. La représentation des directions ne saurait donc offrir ni indécision ni difficulté.

On ne perdra pas de vue que si l’arc par sa marche circulaire est propre à fixer la position des directions, ce n’est pas au moyen de l’arc lui- même, mais au moyen des fonctions rectilignes de cet arc (jue l’on procède à la représentation algébrique des directions; mais parce que le cosinus et le sinus de a, ajoutés l’un à l’autre perpendiculairement, nous conduisent à l’extrémité de l’arc a, il ne faudrait pas croire ijiie de ce qu’on aboutit également à cette extrémité en suivant d’abord le chemin i sur la ligne de base et lui ajoutant l’arc a, la direction peut être représentée dans le calcul par

264 DE LA COMBINAISON DE l’aTTRIBUT, ETC.

1+a; car a ne représente qu’une grandeur en algèbre, tandis qu’en géométrie nous ne pouvons pas nous dispenser de voir dans a un chemin circulaire et par conséquent dirigé. Il n’y aurait donc pas équivalence entre les deux ordres de considération. Mais si nous tenons compte pour a de la propriété .complexe qu’il possède d’exprimer une longueur dirigée, ou pour mieux dire une somme de longueurs dirigées, nous serons parfaitement autorisé à dire que la direction répondant à l’extrémité de a pourra être représentée par l’expression I +a dirigé; celte représentation sera tout aussi légitime que la précédente, sauf à rechercher ce que devra être en algèbre a dirigé.

Or la chose est facile, et l’on va voir que nous serons ainsi ramenés à l'expression précédente.

Il faut concevoir en effet que l’arc se compose d’une succession d’éléments linéaires qui changent à tout instant de direction. Ce sont ces divers éléments dirigés, qui, ajoutés depuis le point A jusqu’à l’extrémité de a, représentent ce que nous appelons o dirigé.

Cela posé, lorsque dans le mouvement de, progression qui s’exécute à partir de A, nous aurons décrit un arc quelconque X, l’élément linéaire de l’arc étant représenté par dx, sa direction sera celle de la tangente à la circonférence à l'extrémité de X, c’est-à-dire une direction perpendiculaire à. celle du rayon aboutissant à l’extrémité de x, et qui sera par conséquent exprimée par

V' — I (cosa;-i-\/— I sinx^; l’élément dirigé aura donc pour valeur

V~ [coix-h>f—i sinx)dx,

et la somme de tous ces éléments depuis x=o jusqu’à x = :c sera a dirigé. On aura par conséquent

(cos x-t- V — I sin x) dx,

et nous pourrons écrire que la direction cherchée sera repré-

sentée par

CHAPiTBE XI.

V — I (cosx+ v'— I sinx) dx,

de telle sorte que pour qu’il y ait accord entre les vues dont nous présentons ici l’exposé et les principes reconnus en algèl>re, il faudra que l’équation

cosa-t-V — I sina= n- ( s / — i (cosx-{-^— i si

sin x) dx

se vérifie. Or l’exactitude de ce résultat est facile à reconnaître, et il èn résulte un nouveau contrôle de la légitimité de nos conceptions. Nous n’insisterons pas davantage sur ces aperçus, qui ne sont pas sans intérêt et qui pourront être développés plus tard. Nous nous bornerons pour le moment à faire remarquer combien ils seront propres, appliqués a une courbe quelconque, à donner la connaissance immédiate d’un grand nombre d’intégrales définies.

Nous allons maintenant traiter une série de questions qui auront moins pour objet les solutions qui les concernent, et qui sont bien connues, que l’indication du procédé à suivrai dans ces sortes de recherches. A cet effet, nous nous attacherons peu au développement des calculs dont les formules obtenues seront susceptibles; ce sont là des détails dont la prati-que est usuelle ; mais nous insisterons sur la marche à suivre pour effectuer la transformation algébrique des formes de la géométrie, suivant les principes ci-dessus exposés au sujet dès longueurs dirigées. La plupart des figures dont nous parlerons étant très-simples, nous nous dispenserons de les tracer; le lecteur pourra facilement les reproduire à l’aide des définitions qui en sont données. Entrons maintenant en matière, et commençons par des questions dans lesquelles il ne s’agira que de lignes droites.

DK LA COMBINAISON DE l’aTTRIBI’T, ETC.

Faire passer «ne droite par deux points.

11 s’agit de connaître : i» la distance x à laquelle la droite en question coupe la ligne de base à partir de l’origine; 2» l’angle 6 qu’elle fait avec la ligne de base. Son expression sera ainsi

j:-fp(cos6+ sin6),

P étant une longueur quelconque comptée sur la droite chercbée à partir de l’extrémité de x.

Les deux points donnés auront pour expression . l’un r(cos<p-j- v'— I sinç) , l’autre r'(cos<p'-l-V— i simf/), retr' étant leurs distances respectives de l’origine, 9 et 9' les angles que font les directions de ces distances avec la ligne de base.

Si l’on appelle y et y‘ les valeurs de p pour les deux points, on devra avoir

(i) a; -j- y (cos 0 y — isinO) = r(cos 9 + v^ — i siii9), x-j-y(cos6-l- y/— I sin6) = r'(cos9'+V— ISÎ19'). Soustrayant, on a

[y — y) (cos6-|-V— I sin 0)

= r (C0S9 V — ï sin 9) — r' (cos 9/ -f y — i sin 9 ), d’où l’on déduit

(y — yOcos0 = rcos9 — WCOS9',

{y — y^)sin 0 = r sin9 — r^siu9'; prenant la somme des carrés, il vient

{y — y')* = r'-+- r'’ — 2rr^ (cos 9 cos 9' -h sin 9 sin 9^),

d’où

y — y' = y/r*-t- r * — 2 rr cos (9 — 9'), par conséquent

„ r coso — r'eoso' reostp — î'^ cos a'

cos 6 = i ; 2- = „ J .- . T ,

y — y cos(9-— 9)

. „ rsin9 — r^sinq/ rsinç — r'sin®'

y — y y'r’+r* — 2 rr^ cos (9 — 9')

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