S 1)E LA COMBINAISON DE L ATTRIBLT, ETC

donne = r , cos <p'

d’où

, . , /. cososino'N

r sin ® — r' sin «/ = r(sin O î — ri)

^ ^ V ‘ cos 9 /

^ sin ( 9 -90 cos®'

Substituant dans la valeur de x, elle se réduit à r'cos9' ou rcosç.

Voyons enfin si la fraction qui multiplie p y — i est égale à rùnité; or, si-on l’élève au carré et qu’on ajoute au numérateur la quantité nulle (rcos9— r^cos9^)*, le numérateur déviendra précisément égal au dénominateur, de sorte que la fraction a en effet pour valeur l’unité.

Si l’on prenait pour ligne de base la droite qui joint l’origine au point r', l’angle 9' serait nul et l’expression de la droite deviendrait

( r cos 9 — y' rsin 9 ^

P Vv'r’ -+- — arr' cos 9 v r*-t- r'* — arW cosa ’ /

Inlerseclion de deux droites.

Soient deux droites faisant avec la ligne de base des angles 6 et 6', coupant celle-ci à des distances 0 et a' de l’origine, et dont on demande de déterminer le point d’intersection. Si r et sont les distances qui, sur cUaque droite, séparent resjiectivement ce |>ohit des extrémités de a et de a', il faudra que le chemin dirigé

O -f- r cos (Ô -4-V — I sin6)

en suivant l’une d’elles soit égal au chemin dirigé

o' -t- (cos V -+- V— 1 sin 0')

en suivant l’autre; d’où l’on déduira immédiatement

a -t- r cos 6 = a' -|- r' cos 6^,

r sin Q = r' sin 6^ ; ,

chapiire: XI. 2R9

en effectuant les calculs, on trouvera tes valeurs suivantes de ret de r' :

(a — flOsinG' , (a — aOsinÔ

* sin (6 — GO ’ * ~ sin(0 — 6')

Dans le cas où, les deux droites étant parallèles, 9 est égal à 9', ta différence 0 — 9' devient nulle;et par suite, ainsi que cela doit être, les valeurs de v et der' sont infinies.

D’un "poinl donné abaisser une perpendiculaire sur une droite donnée.

Supposons en second lieu que d’un point donné M on veut abaisser une perpendiculaire sur une droite.

Si nous joignons le point en question avec l’origine au moyen d’une droite dont la longueur est r et qui fait un angle ç avec la ligne de base l’expression r(cos ^ V— • ?)

représentera le point en question ; si d’un autre côté la droite donnée coupe la ligne de base à une distance o de l’origine et fait avec elle un angle 0, un point quelconque de cette droite aura pour expression

a + x (cos 0 + v'— I sin 9),

X représentant la distance de ce point à l’extrémité de a. ~ Cela posé soit P le pied de la perpendiculaire et appelons ÿ la longueur MP; si a; se rapporte au point P il faudra que le chemin dirigé

a -hx (cos 9 -h y/ — I sin 9),

soit égal au chemin dirigé OM + PM. Or, OM dirigé est égal à r (cos Ÿ -h v/— I sin 9) ; quant à PM, comme elle est perpendiculaire à la droite , sa direction sera celle de la droite même multipliée par v — 1 ; on aura donc

(OM-f PM) d iri gé = r(cos tp -f v'*— I sin 9) -fy v — > (cos 9 -(- sin 9) ;

égalant cette expression à la précédente on en déduira deux conditions à l’aide desquelles on obliendra les valeurs de x et de y.

270 DE LA COMBINAIKOK DE l’ ATTRIBUT, ETC.

On simplifierait notablement le calcul en prenant OM pour lif^ne de base ; dans ce cas l’angle ç est nul, et l’équation à résoudre sera

O -t- a: (cos 9 -t- y — i sin 9) = r -|- y y/— i (cos 9 -i- V — i sin 9).

, Contours polygonaux.

Considérons maintenant un polygone fermé dont les côtés successifs sont a^, a,, a,, a„...,an i, a»- Supposons que l’angle de a, avec a„ est 9, , celui de a, avec a, est 9, , celui de a, avec a, est 9„ et ainsi de suite jusqu’à l’angle de a, avec qui sera 9n ; de sorte que 9,, 9„ 9„ . . ., 9„ sont tes angles extérieurs du polygone ; il suit de là que l’angle que fera un côté quelconque Og avec o„ sera 9, -f 9, -f ...-i-9j.

Cela posé, prenons jmur origine le sommet déterminé par la rencontre des côtés Un-, et a„, et pour ligne de base la direction du côté Un. 11 s’ensuit que, ce dernier côté se confondant avec la ligne de base, la somme 9, -f 9, -i- 9, -t- 9„

sera égale à air; la somme des angles extérieurs vaut donc , quatre angles droits.

Si l’on ajoute les côtés dirigés a„, a„ a„ a„...,a«-„ on retombe sur l’origine ; cette somme doit donc être égale à zéro,

[cos 9, -H V — I sin 9],

[cos (9, -f- 9,) -t- V — I sin (9,-f- 9,)],

[cos (9,-t-9|-t-9,) — I sin (9,-1- 9, -t- 9,)]

, [cos (9, 9, -(- 9, 9n-i)

-(- y / — 1 sin (9,-f- 9, -4- 9, -f-9»-,)];

d'où on déduit

a, cos9,-t-a,cos (9,-t-9,) . .-f-q„ , cos (9,-f-9,-f-. . .-f9„

c’est-à-dire que la somme des projections des côtes d’un polygone sur un d’entre eux est égale à ce côté pris en signe contraire.

ce qui donne :

I flfi -f- fl,

■+■ fl»

H- fl»

-f-fln-