CHAPITRE XI
tî7l
On a d’autre part
(J, sin 01+ (t,sin(9i+Ôj) +. . .+ On - 1 sin (0, +0,+. . .+0,i,) =o,
c’est-à-dire que la somme des projections des côtés sur une droite perpendiculaire à l’un d’eux est égale à zéro.
Enfin si, au lieu de prendre pour ligne de base un des côtés, on prend une droite quelconque faisant avec ce côté un angle ç, toutes les directions précédentes rapportées à la nouvelle basé devront être multipliées par cosç-f — i sin <p. Or cela n’empêche pas la somme des côtés dirigés d’être nulle, et on conclura de là que la somme des projections de ces côtés sur une droite quelconque est nulle.
On voit avec quelle facilité toute la théorie des polygones se déduit de la considération des longueurs dirigées.
Nous pensons que ces exemples sont suffisants pour donner une idée de la marche à suivre dans toutes les circonstances géométriques où ne figurent que des lignes droites ; toutefois, avant de passer à un antre sujet, nous ferons remarquer que, dans les calculs des longueurs dirigées comme dans tous ceux qu’on fait en algèbre, il peut et doit se présenter des cas d’impossibilité; or on conçoit facilement que celte circonstance sera révélée par la manifestation d’une valeur de '• cos 0 qui sera supérieure à l’unité ; cela prouvera que les longueurs dont on pourrait avoir à faire u.sage ne sont susceptibles d’être portées sur aucune direction et que par conséquent la géométrie est impuissante à réaliser les conditions imposées par l’énoncé. Nous nous bornons ici à cette simple indication, nous proposant de donner à ce sujet tout le développement qu’il mérite.
Il n’est pas sans intérêt de donner ici la traduction de quelques formules trigonométriques qui se produisent dans le domaine abstrait, mais dont la signification concrète a été ignorée jusqu’à ce jour. Si l’on considère les deux expressions
(cosa + ^ — isina)" et (cos a — \/ — isina)", on sait que, si on les ajoute, leur somme sera 2 cos n a et que
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leur différence sera 2 y— i sin na ; en abstrait cela résulte de la propriété demontréé par Moivre que la première est égale à
cos n a + sin n et,
et la seconde à
cos na. — V — ï sin n a.
Ce sont donc là deux conséquences qu’il faut accepter, mais auxquelles jusqu’à présent nous ne pouvons attribuer qu’une portée théorique : or il est facile d’en avoir la représentation physique en concret.
Disons d’abord que toute expression de la forme cos a + V“* a,
qui représente la direction déterminée par l’angle a, peut toujours être considérée comme une longueur dirigée dans laquelle le continu a pour valeur l’unité linéaire, et c’est dans ce sens qu’il faut toujours entendre les additions et soustractions de ces formes, opérations qui, d’après ce que nous avons expliqué, ne seraient pas concevables si l’on ne faisait pas ainsi intervenir la considération des longueurs avec celle des directions. Cela posé,
(cos a-t- V — 1 sin a)"
est la direction à laquelle on parvient après avoir répété n fois l’angle a, elle a donc aussi pour représentant
cos ti a -f V — I sin na.
D’un autre côté
(COSa — V — 1 sin a)”
est la direction à laquelle on parvient après avoir répété, mais en dessous de la ligne de base, n fois l’angle a; celte direction sera donc aussi représentée par
cos na— sin na.
J’appellerai ces deux directions l’une OA, l’autre OA'; les longueurs OA et OA' étant égales entre elles et à l’unité linéaire.
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eiks seront évidemment symétriques par rapport à la liirne de base.
Or l’addition de ces deux longueurs dirigées se fera en menant par le point A à la suite de OA une longueur égale et parallèle à OA'. A cause de la symétrie, le point A' viendra tomber en un point A" de la ligne dç base, et on formera ainsi un triangle isocèle 0.\A", dont la base OA" sera évidemment le double de cos na.‘
Si maintenant, conformément à la seconde formule, on veut retrancher OA' de 0.\, il faudra par le point A mener à la suite de OA une longueur égale et parallèle à OA', mais, à cause de la soustraction, la prendre en sens inverse de la précédente; et parce que tout est encore ici symétrique, le point A' viendra tomber en un point A'" de la perpendiculaire à la ligne de base menée par l’origine, de Sorte qne l’on formera ainsi un triangle isocèle OAA'", dans lequel la base sera évidemment le double de sin na; et parce que d’ailleurs la base de ce triangle est perpendiculaire à la direction primitive, le résultat de l’opération, tant en longueur qu’en direction, sera
2 — 1 sinna. ;
On voit donc combien sont simples les figures 8e géométrie à l’aide desquelles se fait la traduction de ces formules.
yj
Par un point donné mener une tangente à une circonférence
donnée.
Passons maintenant à ce qui concerne les circonférences. One circonférence de rayon r étant donnée, supposons que son centre est à un point C, déterminé par l’expression
a(cosip-l-\/^ sinç).
Un point quelconque de cette circonférence sera représenté par
• a (cosip -bV— I sin<p) -br (cos9-t-v' — I sin9),
DE LA COMBINAISON DE l’ ATTRIBUT, ETC.
6 désignant l’angle que fait le rayon r avec la ligne de base. Supposons que par un point A, défini par
(cos<p'-f-V — I sin<]/),
on veut lui mener une tangente; si l’on désigne par T le point de contact, il faudra que le chemin dirigé OC+CT soit égal au chemin dirigé OA 4- AT. Nous savons ce qu’est le premier; quant au second, la partie OA est connue, elle est égale à
a' (cos + V — I si n (J/') ;
il ne reste ‘qu'à déterminer AT. Or si cos04-V— i sinO est la direction du rayon mené au point de contact, comme la tangente est perpendiculaire à ce rayon, sa direction sera
V— I (cos9-+-V-^ sin0)
et l’on devra avoir
a (cosip-i-v'^ï sinç)4-r (COS0-1- — i sin0)
= a' (cos 9' 4 - V—* sin 9") 4- AT y — i (cos6-|-v/^ sin0);
on déduira de là les valent^ de 0 et de AT, en égalant séparément le réel au réel et l’imaginaire à l’imaginaire.
Nous avons supposé que les positions des points C et A sont quelconques relativement à l’origine et à la ligne de base, afin de faire voir comment s’établissent pour le calcul les combinaisons des longueurs dirigées. Mais, cela une fois indiqué, on peut beaucoup simplifier la solution en prenant C pour origine et la droite CA pour ligne de base. Dans ce cas, la longueur a et les angles 9.et<{/ étant nuis, et a' désignant la distance CA, on a simpiçment
(r— ATyw) (cos0-t-V^ sin0)=a'; d’où on déduira
-co6 0 = — AT=o'sin0.
