CHAPITRE XI

Intersection de deux circonférences.

Clierchons maintenant l’intersection de deux circonférences dont les rayons sont r et r^, et dont les centres placés en c et sont situés à des distances a et a' de l’origine qui font respectivement avec la ligne de base des angles <p et 9^.

Le centre c sera représenté par une expression de la forme

a (cos 9-t-V — 1 sin 9).

De sorte qu’un point quelconque de la première circonférence aura pour représentation

a (cos9^-v^^ sin9)-i-r (cos0-hv'~sin6), et un point quelconque de la seconde

a' (co89'-i-V^ sin 9')-f-r'(cos6'’-f sin(K),

les anglqs 9 et 6' étant variables à volonté.

Si l’on veut maintenant obtenir les points communs aux deux circonférences, on écrira que ces deux expressions sont égales, et de cette relation on déduira pour les parties réelles

acos9-t-r cos 9 = a' cos 9' 4- r' cos9^,

et pour les parties imaginaires

a sin9-|-r sin9=a'’sin9'-|-r sin9'.

Au moyen de ces deux conditions on obtiendra les valeurs de 9 et9^. Tel est le procédé général pour résoudre la question.

Mais tout cela se simplifie beaucoup si l’on prend pour ligne de base la ligne des centres et l’un des centres c pour origine, on a alors

et a/ devient la distance des centres; les conditions se réduisent ainsi à

r cos9 = o'-+*r'co8 9', rsin9t=r'sin9^.

276 DE LA COMBINAISON DE l’aTTRIBUT, ETC.

Prenant la somme des carrés, on a

cos 9'

r’ — r'* — a'* la'r^

Si au lieu de la valeur de 9' on avait voulu celle de 9, avant de faire la somme des carrés, on aurait fait passer o! dans le premier membre de la première équation, et on aurait eu

COS9r=

ün remarquera d'ailleurs que les cosinus de 9 et 9' correspondent chacun à deux angles égaux [dacés l’un au-dessus, l'autre au-dessous de la ligne de base, de sorte qu'il y a deux points de coucours symétriquement situés par rapport à la ligne des centres.

Tangente commune à deux circonférences.

Proposons-nous de résoudre le problème qui consiste amener une tangente commune à deux circonférences, dont les rayons sont r et r', le rayon r étant le plus grand des deux, et dont les centres sont placés en c et c^, a une distance d l’un de l’autre.

Appelons T et T' les points de contact. Prenons l’un d’eux T pour origine et la direction de la tangente commune pour ligne de base ; il faudra que le chemin dirigé Tc-hee' soit égal au chemin dirigé TT'-|-TV.

' Cela posé, 9 étant l’angle que la ligne des centres fait avec la tangente du côté des deux circonférences, le supplément - — 9 de cet angle sera celui qu’il faudra prendre pour sa direction, qui sera

cos (it — 9)-f- V — ' 8in (rr — 9), ou

— cos9-t- V— ■

Mais comme, d'après la figure, on doit la considérer comme marchant à rebours de son sens naturel, il s’ensuit que, dans la question qui nous occupe, son chemin dirigé aura pour