CHAPITRE XI

L’on voit donc qu’il n’a pas été nécessaire de recourir à la considération de nouvelles longueurs dirigées.

Les problèmes que nous venons de traiter nous conduiront à des conséquences utiles pour traiter la question suivante.

Déterminer le lieu de la rencontre de deux tangentes de longueurs égales menées à deux circonférences.

On vient de voir qu’on peut d’une infinité de manières mener une circonférence tangente à deux circonférences données. Si aux points de contact T et T' (fig. 2 ) on mène des tangentes

Fif. »■

à cette circonférence commune et si M est le point de rencontre on aura MT = M'T. Comme en outre ces lignes seront tangentes aux circonférences données, on voit qu’il y aura une infinité de couples de tangentes à celles-ci qui jouiront de la propriété que leurs longueurs comprises entre leur point d’intersection et les points de contact seront égales. Il s’agit de savoirjsur quelle ligne se trouvent placés tous ces points düntersection.

Soient C et O les centres des deux circonférences données, r' et r leurs rayons, appelons d la distance des centres dont nous prendrons la direction pour ligne de base, plaçons enfin l’origine au point C ; désignons par 6 et 0^ les angles que font avec la ligne de base les rayons qui vont aux points de contact.

11 s’ensuit que la direction de OT sera

cos6-t- sinô, - -

282 DE LA COMBINAISON DE l’atTRIBUT, ETC.

et celle de MT (jui lui est perpendiculaire sera V — I (cos 6 ■+■ V — I sin 0),

on en dirait autant des directions respectives de CT' et T'M.

Cela posé, il faudra que le chemin dirigé CO-t-OT + TM soit égal au chemin dirigé CT' -+- T'M, puisque l’un et l’autre vont aboutir au point M en parlant de Torigine. Cela donne la relation

d + (r-t-TMv^ — i) (cosô-h V— I sin 6)

= (r'+TMv'— i)(cosO'+V — isinô'), d’où l’on tire

d + r cos 6 — TM sin 9 = r' cos 0' — TM sin 9', r sin 9 + TM cos 9 = r' sin 9' 4 - TM cos 9'.

Faisant la somme des carrés et opérant les réductions, il vient

d*4-r’+ 2 d (r cos 9 — TM sin 0)

d’où l’on déduit

TM sin9 — rcos9=^-^^^^^^^^;3 — zd

Or, si du point M on abaisse sur CO la perpendiculaire MP, il est facile de reconnaître que TM sin 9 et r cos 9 sont les projections respectives de TM et de OT sur la ligne de base, et que leur différence est par conséquent égale à la distancé OP. Mais, la valeur de cette différence étant indépendante de 9, il s’ensuit qu’elle sera la même pour tous les couples de tangentes égales, et que par conséquent le lieu cherché est la ligne MP. Cette ligne est ce qu’on appelle l’axe radical des deux cercles.

Nous ne nous arrêterons pas aux conséquences résultant de ces propriétés, pour la résolution du problème qui consiste à trouver une circonférence tangente à trois autres, car, nous le répétons, notre but n’est pas ici de courir après la recherche des propriétés géométriques ; les questions que nous avons traitées ont eu pour unique objet d’initier le lecteur dans la forme des proc^és à suivre pgur appliquer la nouvelle