CHAPITRE XI

théorie aux spéculations de la science de l’étendue. Or nous pensons que ce que'nous venons de dire, complété par des applications personnelles que chacun pourra entreprendre à son gré, sera très-suffisant pour rendre ces procédés familiers. Nous reviendrons d’ailleurs sur toutes ces choses lorsque nous nous occuperons de la représentation algébrique des courbes autres que les cercles, et lorsque, dans un écrit qui suivra celui-ci, nous apprendrons à construire géométriquement les racines des équations.

Avant d’aller plus loin, il est nécessaire de présenter quelques explications sur une observation importante. Dans les calculs des longueurs dirigées, comme dans tous ceux qu’on fait en algèbre, il peut et il doit se rencontrer des cas d’impossibilité. 11 est naturel de se demander comment ils se révéleront. Or on conçoit facilement (jue l’existence d’une longueur deviendra impossible lorsqu’il nous sera interdit de la placer sur aucune direction, et il en sera évidemment ainsi toutes les fois que le cosinus ou le sinus de la direction qui concerne cette longueur seront plus grands que l’unité positive ou négative. Dans ce cas, cette direction n’étant pas réalisable, nous nous trouverons dans l’impossibilité d’opérer. Tel est le caractère algébrique au moyen duquel nous reconnaîtrons qu’il y a dans les données d’une question géométrique une contradiction. Soumettons cette idée au contrôle de quelques vérifications.

Nous avons vu que la construction d’un triangle dont l’un des côtés a part de l’origine et est situé sur la ligne de base, dont les deux autres côtés sont b et c, et qui a pour angles a, P, y, se fera à l’aide des relations (voir page 262)

a — 6cosy=ccosP, 6siny=csinp.

On déduit de ces deux équations, en faisant la somme de leurs carrés, '

2üb- ’-

â84 DE LA COMBINAISON DE L’ ATTRIBUT, ETC.

tant que a est plus petit que 6-i-c, cette valeur de cos y est inférieure à l’unité, mais si a est plus grand que 6+c, si on a o=6-l-c + A:, elle devient

[6 + (c 4- A')]* + b* — c* ab* -t- 2 6( c-t- A) -f- ac A' + A*

et est par conséquent plus grande que i.

Il en serait de même de cosp, car, en vertu de la relation cidessus, on a

cos P =

a — b cos

aac

or, cette expression n’étant autre chose que celle de cos y dans laquelle b remplace c et réciproquement, la conséquence sera la même que précédemment, puisque cette conséquence dépend d’une hypothèse faite sur b -t- c, qui est une fonction symétrique de b et de c.

Au reste si l’on considère l’équation primitive g = b cos y -H c cos p,

on en déduit que nécessairement a doit être toujours moindre que b-t-c pour que le problème soit possible, puisqu’il est assujetti à être égal à la somme de deux fractions de b et de c.

En second lieu, lorsque nous avons traité la question de l’intersection de deux circonférences de rayon r et r’, nous avons trouvé que a étant la distance des centres, 6 et 6' les angles que font avec la ligne de base les rayons qui vont à un point commun, on doit avoir (page 2y5)

r cos ô = a -H r' cos 6',

d’où

a = rcos6 — r'cosô';

mais si <p désigne l'angle supplémentaire de 0', on aura