CHAPITRE XI

et par suite

cos 9' = — cosç et o = rcos9-|-r'cos<p;

d’où l’on voit que a étant égal à la somme de deux fractions de r et r' cessera d’èlre possible lorsque a sera plus grand que r + r'.

On déduit en effet de l’équation de condition primitive

cosO =

aar

équation en tout semblable à la précédente, sous la réserve que 6 et c sont remplacés par r et r' et qui donnera par suite une valeur du cosinus plus grande que l’unité lorsque r-f-r^ sera supérieur à a.

En troisième lied, dans le problème où il a été question de mener par un point une tangente à la circonférence, nous av ons trouvé que, si a' est la distance du point donné au centre et si 0 est l’angle que fait avec la ligne du centre le rayon mené au point de contact, on a (page 274 ),

. r cosO= — .

Ce cosinus existera donc toujours tant que a' sera supérieur à r; mais il deviendra plus grand que l’unité et par conséquent impossible si a' est plus petit que r, et en effet la tangente ne peut être menée lorsque le point donné est intérieur au cercle.

EnGn lorsqu’il s’est agi de mener une tangente commune à deux circonférences de rayons r et r' et dont les centres sont à la distance d l'un de l’autre, nous avons trouvé que le sinus de l’angle 6 que fait la tangente commune avec la ligne des centres a pour expression

et qu’il devient par conséquent supérieur à l’unité dès l’instant que d est moindre que r — r': c'est qu’en effet la petite circonférence étant alors située tout entière dans la grande une tangente commune ne peut plus exister.

DE LA COMBINAISON DE l’atTRIBOT, ETC.

Ces faits étant ainsi constatés, faisons-les suivre de quelques observations. Si l’on considère l’expression analytique relative à la construction du triangle a,b,e (voir n“ 11), expression qu’on peut mettre sous la forme

a=6 (cosy— V^sinY)+c (cosp-f-V— i sinp),

on voit qu’à un point de vue général on peut dire qu’elle exprime le problème qui consiste en ce que la somme des produits de 6 et de c, par deux facteurs, soit égale à la quantité a. Si l’on désigne ces facteurs par x et y, l’équation générale de ce problème, x et y étant quelconques, serait donc a=6x-(-cy. Mais supposer que x et. y sont quelconques, c’est en fait leur attribuer la forme p[+q '\ — i

et l'on voit qu’on est ainsi conduit à une condition dans laquelle figurent quatre variables p, q, p', q\ ce qui donne une grande généralité à la question. .Dans le problème de la construction du triangle , les conditions sont plus restreintes, parce que nous nous imposons l’obligation de ne pas modifier dans b et dans c, qui doivent rester constants, ce qui s’applique à l’attribut de continuité : alors nous ne pouvons prendre dans p-H<j v' — ost la réunion des deux attributs, que ce qui se rapi»orte au directif, et de là vient la forme restreinte des facteurs qui, dans le problème en question, multiplient b et c. A la vérité, si l’on ne juge que sur l’apparence, l’on trouve dans le facteur cos sin Y deux variables, mais en fait il n’y en a qu’une, parce qu’elles sont liées entre elles par la relation

cos’y-t-sin* Y=i.

Cela posé, parce que lorsque cos y est plus grand que l’unité, il n’y a plus de direction possible, il faut que la forme cosy-Hv^ — I siny, qui est celle des directions cesse d’exister, et que par conséquent qui est le cachet essentiel des directions, disparaisse ; d’où nous sommes conduit à admettre

CHAPITHB XI.

qu’il faudra que dans cette circonstance la valeur de sin y devienne imaginaire; cette conséquence est d’ailleurs entièrement conforme aux principes développés dans la première partie, puisqu’en effet aucun sinus réel ne pouvant correspondre à un cosinus plus grand que l’unité, il est nécessaire que l’expression du sinus devienne imaginaire. Or, s’il en est ainsi, si l’on a

siny=±:(AV— I

en même temps que *

cos y = I -l-'e,

la forme ci-dessus deviendra

i-fed=fA,

laquelle ne pourra jamais être une direction.

On remarquera en effet que si l’on voulait que la valeur i-f-e d’un cosinus appartînt à une direction, en vertu delà loi générale qui régit les directions, il faudrait que le sinus correspondant fût égal à

d’où l’on déduit pour la valeur de ce sinus

— 2e — e* ou ^ ■

et cela prouve en effet, comme nous avions été conduit à l’admettre, que le sinus devient imaginaire. Oh voit que la valeur de ce que nous avons appelé ±p- ci-dessus est ±»/2e-l-e’, que par conséquent iH-e±[Ji. devient