I -t-ertVae -|-e

Mais cette expression étant réelle ne saurait être une direction qu'à la condition de prendre la valeur -h i ou — i. Or, il n’est pas possible que cette expression devienne -f- 1 ou — i sans que £ soit égal ou à o dans le premier cas, ou à —2 dans le second, et dès lors il ne serait plus vrai de dire que i-+-e est supérieur à l’unité positive ou négative.

Concluons donc de là que si un cosinus devient supérieur à l’unité, l’expression de la direction nous échappe, et que par conséquent la construction géométrique d’un triangle, c’est-à-

288 DE LA COMBINAISON DE l’aTTRIBUT, ETC.

dire d'une figure dans laquelle doivent figurer trois angles est impossible.

Toutefois, en dehors de cette spécialité de considérations géométriques, qui consiste en ce qu’il faut faire Femploi exclusif de a, b, c, par voie de direction, ce qui correspond en algèbre à multiplier betc par des facteurs de la forme

cos ï sinpj

on conçoit qn’on peut à l’inverse se proposer d’employer 6 et c par voie de continuité exclusivement, ce qui reviendra à les multiplier par des facteurs réels , qui en feront des multiples entiers ou fractionnaires, dont la somme sera égale à a.

Or, la ferme

est également propre à l'un et à l'autre de ces usages, mais sous la réserve que dans un cas, celui du directif, cos a et sin a seront réels, que chacun sera moindre que l’unité, et qu’ils seront liés par la relation

cos*a-f sin*« = i.

que ce seront, en un mot, les sinus et les cosinus tels qu'ils sont définis dans la trigonométrie.

Dans le second cas, celui du continu, le cosinus sera seul réel et en même temps plus grand que l’unité; le sinus sera imaginaire, et ils seront liés par la relation, que la somme de leurs carrés .sera égale à i, de telle sorte que si l’on désigne par les symboles Ci et S, V— 7 ces sortes de cosinus et de sinus, on aura

C,*-f-(S,v^)*=i on C,’— S,*=i.

Les quantités C, et S, v — i ainsi définies jouissent, par rap- . port au réel, de propriétés importantes, analogues à celles dont les cosinus et sinus ordinaires jouissent par rapport à l’imaginaire, mais nous ne saurions en faire ici l’exposition sans nous écarter beaucoup de notre sujet. Bornons-nous à queli^es sommaires indications.

CHAPiTHE \I.

Nous venons de voir que la forme

cosa±V^— I sina,

pour des cosinus et sinus trigonomélriques, s’applique aux directions, et par ce motif on peut attribuer à ces rapports de la trigonométrie la désignation de cosinus et sinus directifs. Cette forme devient C,±:S, lorsqu’on lui applique l’autre sorte de sinus et de cosinus^ que nous appellerons sinus et cosinus continus. Aussi la loi générale de leurs relations respectives est-elle

(cosa+v/^sino) (cosa — y/^sin«) = i pour les premiers,

pour les seconds.

Or, de même qu’il n’y a pas de direction qu’on ne puisse former au moyen de la forme A±B V— i, avec deux éléments cosa, sina, satisfaisant à la condition cos*aH-sin’a=i, de même il n’y a pas de nombre réel qu’on ne puisse représenter à l’aide de cette forme avec deux éléments C, etS,V^ pour lesquels C, et St satisfont à la condition Ci’ — S,* = i. En effet, T étant un nombre réel quelconque, si nous prenons

nous aurons en remplaçant S, par sa valeur en fonction de C, , C,d=v/C.’-ï=T,

valeur de T qui sera toujours réelle en vertu de l’hypothèse que Cl est supérieur à l’unité. On déduit de là

±v^C,’ — I =T — c,, et en élevant au carré

d’où

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290 DE LA COMBINAISON DE l’aTTRIBUT, ETC

Il est facile de voir que l’expression

est en effet la

forme générale des valeurs qui ne peuvent descendre au-dessous de l’unilé, quelle que soit la variation de T entre zéro et l’infini ; car soit T= i dbe, il viendra

2(l±e) *"^2(izt£)’

et comme pour les valeurs de T comprises entre zéro et l’infini,

la plus petite valeur de e est — i ; il s’ensuit que ne de-

viendra jamais négatif, et que par conséquente, sera toujours supérieur à l’unité. On vérifiera facilement qu’avec cette valeur deC, lebinômeC,-l-S,esten effet égal à T, tandis que G, — S, est

égal à ^ , comme cela doit être, puisque le produit de ces bi-

nômes est l’unité entière ou fractionnaire; et parce queT peut être quelconque, on voit qu’il n’y a pas de grandeur comprise entre zéro et l’infini qui ne puisse être réalisée par la forme A± B v' — I, en lui appliquant, pour A et pour B, les sinus et cosinus tels que nous les avons définis.

Enfin par la combinaison des sinus et cosinus, soit directifs soit continus, onreprésentera avec cette forme une grandeur dirigée quelconque. En résumé l’expression A ± B V — i, par une intervention convenable de l’opération yj—i, est en algèbre celle de la génération universelle des grandeurs réelles ou imaginaires, de même que dans la science de l’étendue, on peut par la combinaison des longueurs avec l’angle droit, équivalent de v' — I, reproduire tous les êtres géométriques.

Ces considérations sont susceptibles de nombreuses et fécondes applications, mais nous devons ici nous borner à l’indication générale du principe dont elles sont les dépendances, et nous allons revenir à l’objet principal de nos recherches.

Dans ce qui précède, nous nous sommes occupé des ques