CHAPITRE XI

lions qui peuvent concerner la ligne droite et le cercle; nous nous proposons maintenant de procéder à la recherche de la représentation algébrique des courbes dites du second degré, et nous commencerons par l’ellipse.

Cette courhe peut être déûnie par l’une de ses propriélés. Prenons à cet effet celle qui consiste en ce que la somme des distances d’un quelconque de ses points à deux points fixes est une quantité constante. Ces points fixes sont ce qu’on appelle les foyers de l’ellipse ; désignons-les par F et F', et appelons d la dislance qui les sépare.

Prenons pour origine l’un des foyers F, et pour ligne de base la droite FF' : un point quelconque de l’ellipse étant désigné par P, menons les deux droites PF, PF', appelons r la longueur de la première, r' la longueur de la seconde, 0 et 0' les angles qu’elles font avec la ligne de base; il faudra que le chemin FP soit égal au chemin dirigé FF'-f F'P; de là résulte l'équation

r (cos 0-4- sin 0) = d- 4 -r' (cos 6' - 4 - sin 0 ').

Égalant de part et d’autre ce qui est réel et imaginaire , on aura les deux conditions

rcos9=d-j-r'cos0', rsinO=r'sinô'.

Si l’on désigne par s la somme constante on en con-

cluera que r' =s— r, de sorte que les deux conditions ci-dessus prendront la forme

(s — r) cosô'=rcosO — d, (s — r sinO'=rsinO; disant la somme des carrés, il vient

(s — r)’=r* — adr cosO- 4 -d*,

d’où l’on déduit

2 (s — d cos 0)'

Celte valeur fait connaître comment l’élément continu de la distance qui sépare un point quelconque P de l’ellipse de l’un de ses foyers varie avec l’élément directif variable 0 de ce