CHAPITRE III

que nous proposerions à l’algèbre de résoudre, impossibilités (l’une nature telle, qu’elles se trouveraient en rapport d’équivalence avec celle qui est représentée par \/ — i ; à ce point de vue donc la forme imaginaire , même dans le domaine abstrait, ne serait ni une inutilité ni une embarrassante superfétation.

Or, on verra dans la suite que c’est exactement ainsi que les choses se passent ; nous mettrons sous les yeux du lecteur de nombreux exemples de ces équivalences entre l’imaginaire et certaines impossibilités, et on acquerra ainsi la conviction que très-souvent, comme Jourdain, nous nous sommes rendu coupables d’imaginaire sans le savoir; mais dès lors, comme nous aurons semé, nous serons bien obligés de récolter.

D’ailleurs l’algèbre n'est pas seulement la science des nombres abstraits, des nombres arithmétiques dont les conditions de possibilité sont fort limitées.

Cette science englobe dans ses formules toutes les opérations possibles. Que les résultats de ces opérations soient applicables ou inapplicables, ce n’est pas à elle à le présupposer et à le dire, car elle n’a ni qualité ni moyens pour cela ; c’est à nous à le juger d'après les attributs divers que la nature aura dévolus aux quantités dont nous faisons une étude actuelle. L’algèbre acceptant ainsi toutes les formes d’opérations, sans être chargée d’examiner ce qu’elles sont susceptibles de représenter physiquement, et en partant de cet unique fait, que par cette forme seule elles relèvent d’elle ; l’algèbre, disons-nous, les combine entre elles ; elle étudie les règles en vertu desquelles ces combinaisons peuvent être faites, elle enregistre les résultats obtenus, sans autre préoccupation dans sa marche que celle d’obéir aux prescriptions de la science du calcul. Elle additionne ou soustrait, multiplie ou divise, élève aux puissances ou extrait des racines; en un mot, elle soumet tout à son creuset et étudie les relations diverses qui peuvent être les conséquences de ces opérations.

N’en est-il pas de même en chimie? Dans un grand nombre des recherches auxquelles il se livre, le chimiste associe les corps, les combine, dresse un formulaire de ces combinaisons, des moyens employés, des résultats obtenus, sans se préoccuper le plus souvent des effets mécaniques, industriels, thérapeutiques ou autres de ces résultats. Il parvient ainsi à connaî-

tre entre les corps des conditions d’association ignorées jusqu’à lui, qui resteront peut-être un certain temps sans application, mais qui un jour pourront rendre à l’homme d’utiles services.

Telle est la généralité de l’algèbre. Elle ne s’arrête pas à la considération qu’une division pourra être quelquefois impossible ; ce sera à nous, suivant les cas, à décider la question ; elle accepte sans difficulté la forme irrationnelle, parce qu’elle n’a pas les moyens de savoir si, dans certaines circonstances, cette forme ne cessera pas d’être un empêchement; elle ne répudie pas l’imaginaire, parce qu’elle n’a pas la prescience de l’avenir qui est réservé à cette forme ; elle sait seulement qu’il y a des calculs possibles à faire sur elle, et elle les fait, sauf à nous à reconnaître et à dire plus tard ce qu’ils pourront signifier. Ajoutons que, par cela même que ces diverses formes sont quelquefois inadmissibles comme solution, elles sont, par cela même, indispensablesà l’algèbre pour nous signaler l’existence et la nature de certaines impossibilités.

Ainsi, que dans une question il s’agisse de déterminer des nombres qui doivent être nécessairement entiers, alors, nonseùlement l’imaginaire, mais l’irrationnel, mais encore le fractionnaire, doivent être considérés comme tout autant d’impossibilités, parce que le nombre entier ne possède d’autre attribut que celui d’une répétition faite à l’aide d’une unité essentiellement indivisible. Or, faudrait-il, parcequedans ce cas particulier l’irrationnel et le fractionnaire sont des solutions impossibles, vouloir à tout jamais exclure ces formes de l’algèbre ? Mais nous ne songeons pas même à nous adresser cette demande, bint sont nonibreux les exemples de solutions fractionnaires ou irrationnelles susceptibles de réalisation. Nous ne doutons pas qu’un jour il en sera de même de l’imaginaire, lorsque la pratique de cette forme nous sera devenue familière.

Que si, au lieu de nombres entiers, il s’agit de longueurs,

nous accepterons parfaitement la solution fractionnaire -* parce

qu’en vertu du principe de continuité qui forme un des attributs de la longueur, si nous ne pouvons pas elTeduer la division du nombrepparq, nous pourrons l’exécuter sur l’unité qui aura été primitivement choisie, cette unité jouissant de la propriété d’être divisible sous forme finie par un nombre quelconque.