CHAPITRE IV
Tant que f sera plus petit que r, la valeur de a sera réelle; elle deviendra nulle si /'est égal à r ; enfin pour toutes les valeurs de f supérieures à r, l'expression r' — p devenant négative, on en conclut qu’on aura des cordes (|ui seront réputées imaginaires. Voilà jusqu’à présent tout ce qu’on a dit de ces cordes.
Quant à nous, nous conclurons de cette circonstance que la question dans les termes où elle est actuellement proposée n’est pas possible, et nous reconnaîtrons sans peine que l’impossibililé résulte de ce que, dans la condition /'* + a’ =r* , la quantité f* étant à elle seule plus grande que r’, à plus forte raison sera-t-il im poSfeible qu’auginentéedequelque chose, elle s’abaisse jusqu’à r*. A cette contradiction l’algèbre répond naturellement par l’impossible.
Quant au moyen qu’il faudra employer pour faire disparaître la contradiction, il devra consister à retrancher quelque chose à P au lieu de le lui ajouter. Or c’est précisément là ce que l’imaginaire vient exécuter, car la quantité a se présentant désormais sons la forme a y' — i , son carré va passer au négatif, ce qui nous apprend que la question n’est devenue impossible que parce qu’en même temps que /"a pris une valeur supérieure àcelle de r.nous avons continué d’admettre que la condition initiale doit toujours consister en ce que la somme des deux carrés P et a* reste constante et égale à r*. Nous n’avons pas besoin d’ailleurs d’insister pour faire remarquer que celte condition n’est autre chose que l’équation du cercle. Nous voyons maintenant, par la présence de l’imaginaire, que, pour redresser celte erreur, il faut substituer la ditlérence des carrés à leur somme; ce qui nous conduit à reconnaître que le cercle ne sera plus susceptible de satisfaire au nouvel état de la question; mais au lieu de nous arrêter en chemin, sous prétexte d'imaginaire, et de ne plus chercher à comprendre, nous nous demanderons si au cercle, devenu impossible, ne vient pas se substituer une nouvelle courbe géométrique; or l’imaginaire se chargeant lui-mêm'e de répondre à cette question vient nous montrer que celle courbe, au lieu d’être soumise à la condition que la somme des carrés des variables est constante, jouira de celle propriété, que celle constance doit être attribuée à la différence de ces carrés. Cette interprétation est d’ailleurs aussi claire, aussi pratique, aussi géométrique que la réponse pré-
cédente était confuse et répulsive pour l'intelligence. Au lieu donc de dire que, lorsque la distance delà corde au centre de la courbe devient supérieure à r, la corde cberchée est imaginaire, nous dirons que cette corde est impossible pour le cercle; mais que si nous débarrassons cette expression du signe d’impuissance qui la paralyse, elle aura pour représentation physique et réelle la longueur de la corde qui, à cette distance, est celle de l’hyperbole équilatère dont chaque axe est égal à 2r.
Plus généralement lorsque, partant de l’équation de l’elüpse mise sous la forme
nous déterminerons la valeur d’une des coordonnées en fonction de l’autre, et que, dans cette fonction, nous ferons usage pour celle-ci d’une xaleur supérieure au demi-grand axe correspondant, nous trouverons que la coordonnée cherchée devient imaginaire. Or, sans qu’il soit nécessaire de reproduire ici une série de raisonnements qui serait en tout semblable à la précédente, nous dirons que l’impossibilité de ce résultat en signale une correspondante dans l’état primitif de la question, consistant en ce que l’un des deux termes du premier membre, au lieu d’être ajouté, doit être retranché, et nous conclurons que dans ce cas l’interprétation de l’imaginaire doit se faire en disant que l’imaginaire de l'ellipse est l’hyperbole ayant mêmes axes qu’elle, de même que l’imaginaire de l’hyperbole sera l’ellipse; traduction parfaitement déûnie, très-géométrique, très-réelle d’une circonstance incomprise jusqu’à ce jour, et en présence de laquelle nous avons dû nous déclarer impuissant.
Nous pourrions multiplier ces applications, mais nous pen- ' sons que les exemples que nous venons de faire passer sous les yeux du lecteur sont suffisants, d’une part, pour justifier dans toute leur étendue le mérite des explications développées dans les chapitres précédents ; d’autre part, pour donner une idée suffisante de la marche à suivre dans la pratique lorsqu’on cherchera à résoudre les difficultés qui pourront se présenter.
