CHAPITRE V

lieu de conserver leurs formes anciennes, prendront les suivantes :

11 convient toutefois de faire suivre cette démonstration d’une remarque justificative. En multipliant le second membre par f, c’est en fait substituer xSi à x, et, par suite, h-\-c devient bf + c£; il faut en conséquence modifier dans ce sens tous les termes de l’équation. Dans le second membre, c’est ce qui a lieu pour x et pour c; en opérant d’une manière analogue pour le premier, il devientpa:£— bf ; il change donc, mais ce changement n’en produit aucun dans le cube. On en dirait autant pour le multiplicateur £*, de sorte que dans les trois cas on aura la même équation finale. Les trois racines seront donc bien celles que nous avons indiquées.

En résumé, que résulte-t-il de ces divers détails? que c’est évidemment parce que l’unité a trois racines que l’élévation au cube conduit à une équation du 3' degré ayant elle-même trois racines distinctes ^ supprimez les racines de l’unité, ou pour mieux dire n’en admettez qu’une, qui sera l’unité elle-même, toutes les variétés de formes que nous venons de passer en revue s’effacentetseramènentsans exception à la forme initiale b-f c. C’est la première proposition que nous avons voulu justifier.

Puis nous voyons que le point de départ, l’équation en £c, tout en exprimant la même relation entre x, b et c, sous les diverses formes que l’algèbre autorise, conduit, pour chacune de ces formes, à des groupes différents de trois racines dans lesquels la seule chose qui reste constante est la racine primitive b-|-c.

On s’explique dès lors, pour le troisième degré, pourquoi une équation de ce degré doit avoir trois racines, poun|Uoi l’intervention de l’imaginaire est inévitable, comment s’introduisent et se diversifient les formes; tout cela dépend de ce principe unique que l’unité a trois racines du troisième degré; sans lui, à la place de la double multiplicité de nombre et de forme, nous nè trouverions plus que la constance du type b -H c.