DE LA REPRÉSENTATION DES QUANTITÉS

résultera la possibilité d’exprimer toutes les choses de celte espece à l’aide du nombre tel que nous l’avons défini.

A cet effet, prenons arbitrairement une de ces choses que, pour simplifier le discours, nous désignerons par a, et comparons-la à toutes les autres de la même espece; il y en aura de plus grandes et de plus petites qu’elle; supposons-les d’abord plus grandes etconsidérons-enune que nous appellerons ?>; si en ajoutant a avec a je trouve que cette réunion est précisément égale à 6, je pourrai dire que celle-ci peut être représentée par 2 fois a ; si cette réunion de a avec o n’est pas suffisante pour donner b, j’ajouterai encore une fois a, et si le nouveau résultat est égal à b, je pourrai dire que celle-ci est représentée par 3 fois a. Je pourrai continuer ainsi indéfiniment et j’obtiendrai, chemin faisant, une collection de choses de l’espèce en question dont tes grandeurs successives seront 2 a, 3 a, 4 a, 5 a,.... jusqu’à ce qu'enfin le nombre de fois que j’aurai répété a soit tel ipi’il y ait égalité entre le résultat de cette répétition et la quantité considérée b.

On voit comment, à l’aide de ce procédé, l’idée du nombre s’introduit comme représentation des grandeurs, et c’est à lel point que, sous la réserve mentale, mais très-expresse, que a est censé devoir être accolé au nombre de fois qu’il a fallu le prendre pour former les diverses grandeurs, je pourrai dire que celles-ci sont respectivement représentées parles nombres 2, 3, 4, 5

Hàlons-nous de faire remarquer que, pour que ce procédé puisse être appliqué, il est indispensable que, dans chaque cas, nous sachions comment il faut s’y prendre pour ajouter a avec a, avec 2 a, avec 3 a.... que nous sachions en un mot faire l’addition de deux choses de l’espèce considérée. Si cette connaissance nous manquait, la formation des grandeurs 2 a, 3 a, 4 a,.... ne pourrait être réalisée. C’est là une opération que l’algèbre sait faire sur les nombres, mais qu’elle n’a aucun moyen de pratiquer sur les quantités elles-mêmes, et dont nous devrons rechercher les procédés dans l’étude directe des propriétés de ces quantités, ce qui, d’ailleurs, en général, ne saurait présenter de sérieuses difficultés.

Ainsi, pour les longueurs, l’addition se fait en portant ces longueurs à la suite l’une de l’autre et suivant une ligne droite.

CDAPITRE Vil. l il

Pour les angles, elle s’exécute par une juxtaposilion en faisant coïncider leurs sommets et un de leurs côtés.

Pour les forces, en les appliijuant à un même point et de manière qu’elles sc confondent dans une même direction, et ainsi de suite.

Si maintenant la grandeur b se trouve être moindre que celle a qu’on a d’abord choisie, il ne sera pas possible, même en prenant celle-ci une fois, de représenter la première ; niais, comme je ne dois satisfaire pour le choix de a à aucune obligation, je n’ai qu’à supposer que je le prends beaucoup plus petit que b et je pourrai, avec ce nouveau choix, arriver à une expression numérique de 6, c’est-à-dire au nombre de fois qu’il faudrait ajouter l’échantillon adopté avec lui-même pour obtenir b.

Ce que nous venons de dire suppose qu’on pourra toujours reproduire une grandeur quelconque en ajoutant un certain nombre de fois à elle-même celle qui a été primitivement prise pour type commun de toutes les évaluations. Or l’esprit conçoit que quel que soit ce type il pourra toujours y avoir des grandeurs comiirises entre elle et son double, entre son double et son triple et ainsi de suite, et (juc par conséquent toutes les grandeurs ne pourront être représentées par ce moyen. Toutefois, on conçoit en même temps qu’en prenant le type de plus en plus petit, le nombre des grandeurs rcprésentables par ce procédé deviendra de plus en plus considérable ; de telle sorte que si la petitesse du type était do l’ordre des choses dont l’imperfection de nos sens, aidés même des appareils propres à suppléer à leur insuffisance, nous force à ne pas tenir compte, il n’y aurait pas de grandeur utile qui ne pût être exprimée par le nombre tel (jne nous l’avons défini. Nous nous en tiendrons pour le moment à cette conception dont il ne faudrait pas se dissimuler les embarras pratitjues, mais parfaitement acceptable au point de vue rationnel, ce qui est suffisant pour l’exposition logique des idées. Nous verrons plus tard les simplifications que la nature même de certaines quantités permet d’introduire dans leur représentation numérique.

Ce type qu’on prend pour servir de commune mesure à toutes les grandeurs de même espèce, et à l’aide duquel on