CHAPITRE Vltl

module 17 fois plus petit, ce qui s’écrira — , et il faudra,

pour que je n’altère pas la valeur de la première grandeur, que je prenne 17 fois plus de ces parties devenues 17 fois plus petites, cequi s’écrira 8 x 17. Dans ces circonstances, la première

grandeur aura pour représentation 8x17 ^ ^ - ; passant

maintenant à la seconde grandeur, je remarquerai que si je rends

son module 1 1 fois plus petit, il deviendra

et sera par

conséquent égal au précédent; d’ailleurs, en répétant le même raisonnement que précédemment, 011 se convaincra que la représentation de la seconde grandeur avec ce nouveau module

devient i 3 Xi

— ^ — * J’ai ainsi ramené les deux représenta- 17X11

lions à être faites avec le même module ; supprimant alors celui-ci, je rentre dans le cas précédent, et de là je déduis les règles connues pour l’addition des fractions lorsqu’elles n’ont pas le même dénominateur.

Ce que nous venons de dire pour l’addition, nous le répéterions exactement pour la soustraction, et il est inutile d’insister sur ce point.

La conséquence générale à déduire de l’ensemble de ces considérations c’est que ûnalement, pour les deux premières opérations de l’arithmétique, on se trouve autorisé à supprimer l’inscription du module, que cette suppression revient, comme nous l’avons vu, à substituer l’unité numérique à l’uriilé module, en attribuant mentalement à la première toutes les propriétés de la seconde; mais en ne perdant pas de vue quen réalité ce n’est pas à cette unité que s’appliqueront des opérations qui le plus souvent seraient impraticables avec elle, et que c’est sur l’unité module que la conception et la réalisation des calculs devront être définitivement reportées.

11 ne saurait donc y avoir de difficulté dans celte manière de voir les choses pour l’addition et la soustraction ; mais, lorsqu’on passe à la multiplication, les analogies sont loin de paraître aussi évidentes, et il est nécessaire d’entrer à cet égard dans quelques explications. . •

DE l’attribut de CONTINUITÉ.

Si l’on réfléchit à la nature de la multiplicalion, et si l’on se rappelle sa définition en abstrait, on reconnaîtra que le multiplicande étant un nombre qu'on répète, qu’on ajoute avec luimême, peut ôlre, soit un nombre abstrait, soit un nombre concret, puisqu’on peut se proposer d’ajouter plusieurs fois avec elle-même soit une pluralité, soit une quantité. Quant au multiplicateur, il ne saurait être qu’un nombre de fois; il est nécessairement abstrait, car il n’est pas possible de se rendre compte de ce que pourrait être l’opération qui consisterait à multiplier une chose par une autre chose. Si donc on demandait quelle est, par exemple, la valeur de 5 mètres d’étoffe dont chacun coûte 7 francs, je verrais que ce qu’il s’agit de trouver ici est une somme d’argent, que par conséquent la considération du module monétaire doit être maintenue. Quant à celle du module des longueurs, elle est ici tout à fait indifférente, nonseulement quant à la valeur numérique du résultat, mais encore quant à sa nature, de telle sorte que si, au lieu de parler d’étoffe et de mètre, on avait demandé d’une manière générale quel est le prix de cinq choses égales à une autre qui coûte 7 francs, la réponse dans ce cas général aurait indistinctement convenu à tous les cas particuliers.

Il suit de là qu’en ce qui concerne le multiplicande, son module, quoique sous-entendu, doit toujours être restitué au produit, et qu’eu ce qui concerne le multiplicateur, alors même qu’un module figurerait dans sa représentation, il ne faudrait y avoir aucun égard, et qu’on ne doit voir dans cette représentation que le nombre de fois qui y figure.

Telle est, au point de vue des modules, la distinction essentielle qu’il faut voir entre le multiplicande et le multiplicateur.

Cela posé, si on demande quel est le prix de cinq choses dont 2 2

chacune coûte ^ de franc, restituant à ^ la conception du module que je désignerai par 9, je reconnaîtrai que cela veut dire (|u’on l’a divisé en trois parties et qu’on eu a pris deux pour olilcnir le prix d'une chose; le prix total s’obtiendra donc en