CHAPITRE VIII

répétant cinq fois ces deux parties du tiers de a, ce i|ui donnera 5 X aî. Supprimant ensuite l’indication du module J’au-

rai — 3— > b'^n que la division de 5 x 2 par 3 ne puisse pas se

faire, Je n’en comprendrai pas moins que ce résultat sera réalisable, parce que la division par 3 pourra toujours s’effectuer sur le module, lorsque celui-ci sera connu.

Mais, au fond, on voit qu’ici il y a autre chose cju’une multiplication, il y a en même temps une division. En effet, la multiplication de 2 par 5 ne suffirait pas à elle seule pour obtenir le résultat; il faut encore y joindre la division du module en trois parties. On a cependant continué de donner à cette double opération l’unique désignation de multiplicalion. Supposons maintenant que, sachant que le prix d’une chose

est de 1 1 francs, ou demande quel sera le prix des - de cette

chose, voilà certainement une question qui rentrerait encore moins que la précédente dans l’opération de la multiplication, car, tandis que là le multiplicateur est un nombre de fois, ici il ne l’est plus, de sorte que le caractère essentiel de la multiplication manque tout à fait. Recherchons néanmoins comment la question pourra être résolue. Je remarquerai que puisque le prix d’une chose est de 1 1 francs ou 1 1 o, le prix du

septième de cette chose sera ou pour mieux dire 1 1 ?

parce que 1a division par 7, qui ne peut pas se faire sur le

nombre ii, peut toujours être exécutée sur le module; dès lors, les cincj septièmes coûteront cinq fois plus, le prix cher-

ché sera donc 5x 1 1 -, dont la forme, en

supprimant l’indica-

tion du module, se réduit à

, résultat toujours compré-

hensible, en ne perdant pas de vue que la division par 7 se fera sur le module.

Nous trouvons donc encore ici la combinaison d’une multiplication et d’une division ; cependant, dans ce cas comme dans le précédent, on a continué de donner à cet ensemble le nom de multiplication.

DE L’ATTHIBIT de COPiTINÜITÉ.

Comme notre intention n’est pas de faire un ouvrage d’enseignement, mais d’indiquer seulement l’ordre d’idées suivant lequel un pareil ouvrage devrait être conçu, nous ne pousserons pas plus loin l’examen des procédés à suivre pour exécuter sur les fractions les diverses règles de calcul qu’on peut concevoir sur elles. Ce qu'il y a d’important dans tout ceci, c’est de bien remarquer que toutes les divisions impossibles à exécuter sur les nombres et sur l’unité numérique sont toujours reportées sur des modules jouissant de la propriété d’être divisibles à volonté, ce qui fait disparaître l’obstacle et l’impossibilité résultant pour notre raison de concevoir que ces opérations doivent être pratiquées sur des nombres.

11 est toutefois nécessaire de faire observer qu’en prenant la résolution d’appeler multiplication une opération ou, pour mieux dire, un ensemble d’opérations autre que celle à laquelle on a primitivement réservé ce nom, il devient nécessaire, pour éviter toute confusion, de donner de la multiplication une déflnition nouvelle qui, en même temps qu’elle comprendra la première, sera applicable aux nouveaux cas qu’on se propose de considérer désormais comme des multiplications. C’est ce qu’on a fait en disant que c’est une opération qui consiste à trouver un résultat qui se compose avec le multiplicande comme le multiplicateur se compose avec l’unité, étant bien entendu que cette unité sera l’unité numérique en abstrait et l’unité module en concret. '

Il est maintenant important de remarquer que de cette définition, parfaitement convenable à tous égards, il résulte que le résultat ou produit sera nécessairement de même nature que le multiplicande : abstrait lorsque celui-ci sera un nombre abstrait, et de même espèceque le multiplicande lorsque celuici sera une quantité. Quant au multiplicateur il ne saurait jamais être concret, car, d’après la définition, il n’est autre chose que la manière dont il se compose avec l’unité, c’est-à-dire l’ensemble des nombres et des opérations seulement qui concourent avec cette unité à définir l’espèce qui a donné lieu à son concours; celte considération doit toujours être présente à l’esprit.

Résumant maintenant, dans une considération unique, toutes celles qui ont dû être exposées ci-dessus en détail, nous