CHAPITRE VIII

pouvons dire que l’expression d'une fraction ^ doit toujours

être considérée comme une collection de a unités ayant reçu la fonction d’entraîner la nécessité d'une division par b dans toutes les opérations où ces a unités devront figurer. On pourra donc employer le nombre a de ces unités, suivant les règles connues de l’arithmétique des nombres, sauf, après coup, à leur restituer la condition qui leur appartient d’être divisives par b.

C’est là une règle générale qui ne saurait tromper, parce qu’elle est une conséquence nécessaire de la définition aussi simple que juste que nous venons de donner du nombre fractionnaire ; il n’y aura plus qu’à examiner, dans chaque cas, comment s’exercera sur le résultat l’influence des conditions divisives auxquelles chaque numérateur est soumis.

Par exemple, si je dois ajouter ^ avec les numérateurs

a et a', exonérés chacun de la condition d'être respectivement divisés par b et b', donneraient pour somme a a' ; restituant maintenant les conditions qui appartiennent à chacun, cela se

change évidemment en

Si je dois multiplier ^ par l’opération de la multiplication faite sur les numérateurs serait aa'; mais, en vertu des conditions divisives de a et de a', cela deviendra nécessairement a a!

bb''

CL a!

Si je dois diviser ^ par l’opération de la division effectuée

sur les numérateurs sera mais d’abord, parce que^a est di-

visif par b, je devrai lui restituer cet attribut, et j’aurai ainsi a

en second heu, parce que a' est divisif par 6', et qu’en

l’employant comme diviseur j’obtiens nécessairement un résultat V fois trop faible, je devrai, pour avoir égard aux conditions auxquelles il est soumis, multiplier ce résultat par V,

et j’obtiendrai ainsi

DE L’ATTRIBCT DK CONTINÜITÉ.

Toutes les opérations sur les fractions se comprendront avec la même facilité; il suffira^ dans chaque circonstance, d’apprécier sainement quel devra être sur le résultat l’inûuence finale des attributs divisifs; et, quant à celles de ces divisions qui pourront se maintenir dans la valeur de ce résultat, on en exonérera le nombre pour en charger le module sur lequel elles produiront tout leur effet.

Mais ceci n’implique pas tout ce qu’il y aàdire sur le nombre fractionnaire, et nous devons ajouter ici une observation qui ne saurait être passée sous silence, si l’on tient à avoir l’intelligence complète de tous les cas qui peuvent se présenter.

Rien de plus facile à concevoir que ce que signifie le nombre fractionnaire ? lorsqu’il a pour destination de représenter une

quantité. Nous savons que dans ce cas cette quantité sera celle qu’on obtient en prenant a fois le module primitif préalable-

ment divisé par 6. Mais ne représente pas toujours une quantité, il peut être employé comme indication du rapport qui existe entre deux quantités de même espèce.

Si, par exemple, p et q sont deux pluralités, et si on dit que leur rapport est le nombre m, cela signifiera que la première est égale à m fois la seconde ; de sorte que si p n’était pas connu il suffirait pour l’obtenir de répéter q un nombre de fois égal

à m. Si maintenant on prétend que le rapport est égal à la

pluralité p devrait être égale à ^ q ; or, s’il arrive que q ne soit

pas divisible par b, l'existence de la pluralité b sera irréalisable ; en conséquence, sauf les seuls cas où q sera de la forme nb, il y aura impossibilité de résoudre la question.

11 n’en est pas de même lorsqu’il s’agit des quantités continues parce que, dans ce cas, les divisions peuvent s’exécuter sur elles; supposons, par exemple, qu’une longueur Lf étant donnée, on propose d’en former une autre qui soit avec elle dans le rapport de a à 6 : on divisera à cet effetjL' par b, ce qui

CHAPlTItE VIII.

peut toujours se faire, et en répétant a fois la longueur X de ce quotient on aura une longueur aX dont le rapport avec L'

sera évidemment puisque L' pourra alors être exprimé par

Ce qui est toujours possible, c’est de constituer deux pluralités qui soient dans un rapport donné, lorsqu’on a le choix des deux; il suffit alors de prendre l’une égale à un multiple du numérateur de ce rapport, et l’autre au même multiple du dénominateur; mais lorsque ce double choix n’est pas piermis et qu’une des pluralités est déterminée d’avance, la question qui est le plus souvent insoluble en abstrait peut toujours être résolue pour les quantités concrètes.

Constatons donc en résumé que le nombre fractionnaire

peut exprimer soit une quantité, soit un rapport entre deux quantités de même espèce ; et qu’il résulte de ce qui vient d’être dit que, dans un cas comme dans l’autre, lorsque la quantité en question jouira de la propriété d’être continue, il sera toujours possible d’avoir l’inlelligence de cette expression.

11 n’est pas inutile de remarquer, au sujet de celte double espèce de nombres fractionnaires, qu’elle est une conséquence du double point de vue auquel on peut considérer la division de a par b, car cela peut signifier ou qu’on divise une quantité a en 6 parties égales, auquel cas le quotient est concret, ou bien qu’on cherche combien de fois la quantité a contient la quantité b, auquel cas le quotient ne saurait être concret. On est conduit à la même conclusion en considérant que la division étant l’inverse de la multiplication, on peut se proposer avec le produit de déterminer soit le multiplicande qui peut être concret, soit le multiplicateur qui ne l’est jamais. Toutes ces considérations sont donc en parfait accord les unes avec les autres.

Occupons-nous maintenant des expressions puissanciellcs et radicales.

On est souvent conduit, dans les questions qu’on a à traiter,

168 DE l’atthibdt de continuité.

à employer la considération de l’élévation aux puissances et celle de l’extraction des racines.

La première de ces opérations est toujours réalisable en abstrait, il n’en est pas de même de la seconde. L’intervalle qui sépare les puissances de deux nombres consécutifs n et n 4- i est en général très-considérable. Par exemple, les cinquièmes puissances des cinq premiers nombres sont i , 3a, 243 , 1024 , 3i 25} cela suffit pour faire comprendre que les nombres qui sont des puissances exactes constituent une très-grande exception, et (|ue le plus souvent l’extraction des racines sera une impossibilité. Ces nombres dont on ne saurait extraire les racines sont ceux qu’on appelle irrationnels.

Présentons une première observation sur ce qu’il faut entendre lorsqu’on dit qu’on élève une quantité à une puissance. Si U, estl’uniié module de cette quantité, sa représentation sera de la forme a[x; etil semblerait au premier abord que sa n"’""' puissance devrait être (nu.)" ou a"a"; mais, d’une part, si on se demande ce que c’est que d’élever un module à une puissance, ce que ce peut être par conséquent que de multiplier u. par (i, une chose par une chose, de l’eau par de l’eau, un arbre par un arbre, non-seulement notre raison se refusera à comprendre ce que pourrait être une pareille opération , mais elle ajoutera qu’alors même qu'il serait permis de concevoir ce qu’elle est, elle ne rentrerait pas dans la catégorie de celles que nous avons définies, puisque nous avons fait remarquer qu’une des conditions essentielles de celte définition est que le mulliplicateur ne saurait être concret. En outre, comme p." ne serait plus ou une partie ou un multiple du module p, telsque.nous les entendons en algèbre, on voit que l’espèce considérée aurait disparu de la représentation de la quantité, et s’y trouverait remplacée par une autre espèce inconnue et non définie.

En fait d’opérations algébriques à exécuter sur les modules mêmes, il ne saurait nous être permis de concevoir et de pratiquer que celles qui dépendent de leurs propriétés constitutives. Pour l’unité numérique c’est la répétition, pour les unités modules des quantités continues c’est la répétition et la division, et nous ne connaissons que celles-là.

11 suit de là que c’est une locution très-vicieuse que de dire qu’on élève une quantité aune puissance, puisque multiplier