CHAPITRE VIII

une quantité par une quantité est une chose qui n’a pas de sens; il faut toujours entendre, lorsqu’on emploie celte manière de s’exprimer, que ce qu’on élève à la puissance est seulement la partie numérique qui, dans la représentation de la quantité, accompagne le module.

A cette première observation il convient d’en ajouter une autre, qui a pour objet de bien préciser le sens de certaines opérations. En général, si [a est un certain module et que A [x représente une quantité de la même espèce que [x, lorsqu’à la

place de ix on prendra une de ses divisions l’expression delà

même quantité deviendra b A. car il faudra évidemment,

pour obtenir le même résultat avec un module b fois plus petit, que la répétition dé ce module soit b fois plus considérable que précédemment. Cela sera vrai, quelle que soit la valeur de A. Si par exemple cette valeur est un carré m* et que je veuille

changer le module des carrés [x en p le nombre de fois qu’il

faudra répéter le module sera b m’, de sorte que changer le module une fois que le carré m* est calculé, c’est multiplier m« parle nombre b dont on a fait usage pour diviser le module.

Mais il n’en serait pas de même si ce changement de module se faisait avantla formation du carré, c’est-à-dire sur la racine. Dans ce cas, la quantité dont on veut exprimer le carré serait

b m (^, et le nombre répétiteur indiquant comment la même quantité se compose avec l’unité actuelle sera b m, le résultat

devra donc nécessairement être 6’ tn’ ' -

Que si, au lieu du carré, il s’agit d’une puissance quelconquen, on s’assurerait par un raisonnement analogue que le résultat

serait b" m" Cette conséquence est d’ailleurs indépendante

du nombre qu’on aura voulu adopter pour la division du module, de sorte que, quel que soit le module, ((uelles que soient les fractions de ce module qu’on voudra lui substituer, il est impossible que la partie numérique de la n'^°“ puissance d’une quantité soit autre chose qu’une n'*""' puissance exacte d’un

DK l’attribut de CONTINUITÉ.

nombre entier. Il suit nécessairement de là que si M |x est la représentation d’une quantité, et si M n’est pas une puissance exacte du degré n, il sera impossible que sa racine n''™® soit exprimable par une fraction quelconque du module g.

Les nombres irrationnels ne sont donc pas susceptibles d’être ramenés à la forme fractionnaire; si cela se pouvait, leur réalisation pour les quantités continues serait obtenue par cela même; or, puisque ce moyen nous fait défaut, il devient nécessaire de chercher à résoudre directement la question.

Ces choses ainsi entendues, voyons si l’expression Jj/M, impossible en abstrait et même en concret sous forme fractionnaire, ne sera pas cependant susceptible d’être réalisée pour les quantités continues. A cet effet, remarquons que, quelque soit M, on trouvera toujours des puissances entières du degré k plus petites que lui ; soit m‘ celle de ces puissances qui est la plus voisine de M, on pourrait donc prendre m comme première approximation de « M, et par suite , s’il s'agit de longueurs et si X en est le module, on pourrait dire que m â est la valeur de VM

Supposons maintenant que X est divisé en dix parties égales, et considérons la suite des longueurs fournies en ajoutant à m X successivement une fois, deux fois, trois fois, etc., la longueur comme la racine cherchée est comprise entre m X et (m 4- 1 ) X, on sera certain qu’avant d’arriver à ajouter lo fois — on aura passé par des valeurs qui seront les unes moindres,

les autres plus grandes que la racine cherchée. Si, par exemple, c’est entre trois fois et quatre fois que cette circonstance se

manifeste, nous pourrons dire que la longueur m X -H 3 — ou + ^ une seconde approximation de la racine

cherchée, et ce résultat différera du véritable de moins de — •

Digilized by