CHAPITRE VIII. 17i

Parvenu à ce point, divisons de nouveau le module en dix

parties, de manière à le faire devenir ^ et ajoutons, à la

précédente valeur de la racine, une fois, deux fois cette nouvelle partie du module. Comme la racine cherchée est

comprise entre -f ^ et on sera certain

qu’avant d’ajouter dix fois on aura passé par des valeurs

qui seront les unes moindres, les autres plus grandes que la racine cherchée. Si, par exemple, c’est entre sept et huit fois que cette circonstance se manifeste, nous pourrons dire que

fm4-— ^X + 7 ou — 4- X est une troisième

approximation de la racine cherchée, et ce résultat différera

du véritable de moins de •

11 n’est pas nécessaire d’insister pour comprendre qu’en poursuivant le cours de ces opérations on passera par une suite d’approximations toutes de plus en plus voisines de la véritable valeur de et qui finiront par jouir de la propriété d’en différer d’une quantité aussi petite qu’on voudra.

On pourra donc ainsi parvenir à réaliser, avec tel degré d’approximation qu’on se sera imposé , une longueur dont l’expression algébrique sera ^M.

Le lecteur comprendra que, dans ce que nous venons de dire, nous n’avons pas eu pour objet d’exposer le procédé pratique usuel pour extraire les racines; notre but a été seulement d’indiquer un moyen simple de conduire l’esprit à la conception de leur réalisation pour les grandeurs continues.

Puisqu'un nombre irrationnel ne peut pas être égal à un nombre fractionnaire, le procédé que nous venons d’indiquer, et tout autre plus abréviatif comme recherche, ne sera pas susceptible d’avoir de terme. 11 résulte de là, au point de vue des conceptions théoriques, qu’il y a des quantités continues qui, de quelque manière qu’on s’y prenne, ne seront pas susceptibles d’être exprimées par la division en parties égales d’une quelconque d’entre elles, et qui par conséquent n’auront