DE L ATTRIBLT DE CONTINUITE

pas de commune mesure avec d'autres. Ces quantités, par rapport aux autres, sont appelées incommensurables.

11 ne faudrait pas croire qu’il n’y a que les questions dans lesquelles figurent des nombres irrationnels qui possèdent la propriété d’exiger une série indéfinie d’opérations. Il en est d’autres dans lesquelles n’entrent pas les extractions de racines et qui peuvent également y conduire. Mais il ne faudrait tirer de ce fait aucune conséquence d’incommensurabilité ; cette dernière propriété doit toujours être directement établie. Par exemple, je suppose qu’on a pris le neuvième d’une

longueur, et qu’on se propose d’exprimer ce - par des divisions

successives en treizièmes de la même longueur.

On s’assurera par un calcul fort simple que les trois premières

fractions qui figureront dans la valeur ^ seront-^ -H ^

et qu’arrivé à ce terme on aura encore a évaluer par le même

procédé un reste égal à Or, ce reste peut être écrit

rp" il ne difl'éreradoncdu nombre ^ qu’on veut évaluer que par le coefficient les mêmes fractions que ci-dessus vont donc se reproduire avec le facteur commun ce qui donnera -!- -f ^ l et on aura évidemment un nouveau reste qui ne pourra être que 4^ X -Jl— ou JL i. on

i.P id.t) li* 9

comprend, d'après cela, que par la continuation de ce procédé on reproduira successivement les trois fractions ci-dessus, disposées en groupes, qui seront multipliés, savoir: le premier

par I, le second par pjj, le troisième par et ainsi de suite

indéfiniment. Or, il serait inexact d’inférer de là que le - et

le — d’une même longueur sont incommensurables, puisqu’ils peuvent l'un et l’autre être évalués par un certain nombre de