CHAPITRE VIII

parlies de la fraction ou — de ij.y 117

la longueur proposée.

Revenons maintenant à l’irrationnalitê.

Nous voyons que de même que la considération de la division nous a conduit à une espèce de nombre appelé fractionnaire qui, quoique impossible en abstrait, se réalise pour les grandeurs continues en vertu de la propriété dont elles jouissent de pouvoir être indétiniment divisées, de même la considération de l’extraction des racines nous conduit à une nouvelle espèce de nombres également réalisable pour ces grandeurs, mais par un procédé moins simple.

En effet, tandis que pour les expressions fractionnaires il suffit d'un nombre toujours limité de divisions, il n’en est pas ainsi pour les expressions irrationnelles qui en exigent un nombre illimité, et qui même, malgré cette ressource, ne peuvent pas être exactement évaluées. A la vérité, cela n’a aucun inconvénient pour la pratique, puisqu’elle peut toujours conduire à une évaluation aussi approchée qu’on voudra, de sorte qu’en négligeant des restes tellement petits qu’il sera permis de les considérer comme nuis, on pourra dire que les nombres irrationnels rentrent dans la catégorie de ceux qui sont commensurables, et il n’y aura rien là qui répugne à nos conceptions.

Les calculs à faire, avec et sur les nombres irrationnels, ne sauraient présenter de sérieuses difficultés; il suffira d’avoir toujours présente à la pensée la propriété qui les caractérise, et qui consiste en ce que ces nombres entraînent la nécessité dans toutes les expressions où ils figureront d’extraire ia racine d’un certain degré. C’est ce que nous proposons, pour abréger,

d’exprimer en disant que ^ Â indique que A est extractif du degré n. Cequ’il y aura donc lieu de rechercher dans les calculs où figureront des nombres irrationnels consistera à se rendre compte des effets que leur propriété d’être e.xtractifs du degré n doit produire sur les résultats successifs de ces calculs ; c’est ainsi que nous avons procédé pour les nombres négatifs

174 DE l’attribut de continuité.

et pour les nombres divisifs. Quant au résultat final, sa réalisation pourra toujours être conçue , ainsi que nous l’avons expliqué, à l’aide d’une série de divisions.

Les développements relatifs à ce sujet concernent plus spécialement les ouvrages d’enseignement, et nous devons nous borner ici à l’indication du principe qui sera le fil directeur de ces recherches.

Après avoir expliqué comment le principe de la continuité permet d’exprimer algébriquement les diverses quantités qui en jouissent, revenons au principe en lui-même, tâchons de nous rendre compte des circonstances naturelles qui s’y rattachent, et d’en déduire toutes les conséquences qui peuvent nous intéresser, soit au point de vue du calcul, soit au point de vue des conceptions.

On a vu, d’après les explications précédentes, qu’on était obligé, pour exprimer certaines quantités, de prendre de trèspetits modules ; que même quelques-unes de ces quantités ne pouvaient être introduite^ dans l’algèbre qu’à la condition qu’on exécuterait une série illimitée de divisions du module, et que, quelque petits que fussent les modules ainsi successivement introduits, on ne parviendrait jamais à l’expression théoriquement rigoureuse de ces quantités.

Cette idée de divisions indéfiniment poursuivies nous conduit naturellement à celle d’un module de plus eu plus petit et même infiniment petit; notre raison est donc en droit de se demander ce que peut être, par exemple, une longueur infiniment petite, avec le caractère exclusif et absolu dont le mot infini porte l’empreinte. Un tel objet ne saurait être une longueur, car s’il en était ainsi, je pourrais concevoir qu’on en prend une fraction, et dès lors il n’aurait pas été vrai de dire qu’elle est infiniment petite; d’où nous sommes obligé de conclure que s’il existe quelque chose qui puisse être réputé longueur infiniment petite, celte chose est nécessairement indivisible. D’un autre côté, ce ne peut être le néant, car le néant, répété tant de fois qu’on voudra, ne pourra pas produire quelque chose. Cependant, comme en partant d’un module