CHAPITRE VIII

quelconque, nous sommes obligé d’admettre^ dans l’ordre de nos conceptions, que nous devons parvenir, par une suite infinie de divisions, à un module infiniment petit, il faut bien en conclure inversement que par la répétition infinie de cette chose infiniment petite, nous pourrons reproduire la longueur primitive; cette chose, encore une fois, ne saurait donc être le néant.

Finalement, dans l’ordre rationnel, nous sommes forcé d’accepter l’idée que ce qu’on appelle longueur infiniment petite n’est pas 1e néant, que ce n’est pas non plus une longueur, et que c’est un être indivisible. Y a-t-il dans l’ordre naturel quelque chose qui réalise ces conditions, et que nous soyons autorisé à considérer comme leur équivalence? Nous pouvons répondre à cette question que la conception du point géométrique correspond exactement à toutes ces propriétés. D’abord ce n’est pas le néant, en second lieu ce n’est pas une longueur : c’est en outre un objet indivisible, et enfin c’est à sa conception que nous sommes conduit par une série infinie de divisions de la longueur.

Il suit de là que nous sommes autorisé à considérer la génération de la longueur comme pouvant être faite par le point. Mais ici semble se présenter une difficulté nouvelle, car une longueur étant faite, et quelque petite qu’elle soit, puisque nous avons la conviction que nous ne pouvons arriver de cette longueur au point que par une série infinie de divisions, par contre il nous sera impossible d’arriver du point à la longueur autrement que par la considération d'une répétition iidluie. Cette considération est certainement de nature à jeter du trouble dans notre esprit. Voilà, en effet, un moyen de réalisation qui, tout acceptable qu’il est comme conception, est par le fait irréalisable, de sorte que s’il s’agissait avec le point de créer de toutes pièces une longueur, il nous faudrait être plus initié que nous ne le sommes dans les secrets de la nature pour pratiquer cette opération d’infini qui se trouve placée entre l’une et l’autre. Or, nous ferons observer que l’essentiel dans ceci, ce n’est pas une pareille pratique, car nous trouvons des longueurs tontes faites qui la réalisent, et nous pouvons en

DE L’ATTRIBCT de CONTINUITÉ.

créer tant que nous voudrons au moyen d’autres longueurs, avec une approximation suffisante pour nos besoins; mais ce qui importe, c’est de bien savoir à quelles conceptions nous serons sûrement conduits par les diverses considérations que nous pourrons faire volontairement ou que nous serons obligés de faire sur les longueurs, dans toutes les circonstances où nous pourrons nous trouver à la suite de recherches algébriques. Or, nous allons voir que celte opération d’infini à l’aide de laquelle nous concevons que, dans l’ordre naturel, on peut passer du pointa la longueur n’a nullement besoin d’être praticable pour que nous ayons rinlellige.ice des choses auxquelles elle s’applique. Ce que nous ne devons pas ignorer, c’est que entre la longueur et le point, dont nous faisons si fréquemment usage en géométrie, vient se placer cette considération de l’infini; que nous ne pouvons aller de l’un à l’autre sans passer irrévocablement par celte considération ; qu’il y a ici et nécessairement deux infinis qui viennent se juxtaposer; que ces deux infinis ne sont pas de même nature, l’un étant l’infiniment grand ou l’infiniment répété de l’opération, l’autre l’infiniment petit de la chose; qu’impossibles l’un et l’autre séparément comme réalisation, ils conduisent cependant par leur association à la conception des choses que noire raison accepte sans hésitation, parce que la nature nous les offre comme une conséquence de ce qu’elle sait, elle, réaliser avec un être et des moyens inaccessibles pour nous à toute autre faculté que celle de l’entendement.

Or, de là, il nous est possible d’inférer instinctivement, et c’est ce qui sera confirmé par des explications ultérieures que si, dans nos jirocédés de calcul, nous parvenons à obtenir un facsimilé de ces deux opérations, nous reproduirons par cela même les choses et les fonctions de la nature, et alors si nous convenons que dx représente une longueur infiniment petite

ouïe point, que le signe représente une série infinie de

répétitions, nous comprendrons spontanément que J dx doit

représenter la longueur, puisque celte expression est la reproduction môme des moyens par lesquels nous concevons qu’on passe du point à la longueur.