CHAPITRE VIII

Pour le moment, nous nous bornons à celle simple observation, qui sera développée plus tard; mais on peut, dès à présent, comprendre quelle est l’origine rationnelle de l’introduction en algèbre du calcul appelé avec raison inlinilésimal, de ce calcul qui, sans être l’opération même par laquelle dans l’ordre naturel on passe d’une quantité à sa limite et réciproquement, en est la représentation équivalente dans l’ordre de nos conceptions ; de ce calcul qui, sans parti pris, sans plan arrêté, sans aucun but proposé d’avance, s’est introduit dans les recherches algébriques et a pu simultanément, diversiflé dans sa forme, mais toujours le même dans son principe, germer dans plusieurs intelligences, parce que c’est le propre de la vérité de se faire jour et de s’imposer à nous, même alors qu’elle ne nous est pas complètement connue dans l’ensemble de ses coordinations, qu’elle n’est entrevue que par ces soupçons qui sont les éclairs dont le génie illumine la science.

On voit donc qu’il suffisait d’analyser dans tous ses détails le principe de la continuité, pour avoir la perception claire et précise du calcul infinitésimal; et que, si toutes ces considérations d’infini qui s’y latlacbent ont souvent troublé notre intelligence, c’est que nous n’avons pas assez remarqué qu’elles se retrouvent dans les liens naturels qui rattachent certaines choses à d’autres; de sorte que si en cette circonstance nous devions éprouver quelque étonnement, ce serait au contraire que nous eussions pu dans nos calculs supprimer ces idées d’infini sans lesquelles la dépendance relative de certains faits naturels ne serait plus compréhensible.

Mais revenons à cette idée de la répétition du point en nombre infini pour former une longueur, et montrons d’abord qu’elle ne vient a|)porter aucun trouble dans celle que nous nous sommes faite de la représentation des longueurs à l’aide d’une d’elles et du nombre. Sans doute , nous le répétons, s’il nous fallait, avec un point et une infinité d’opérations, produire une longueur, nous serions dans l’impossibilité de le faire, par le double motif que nous ne pouvons pas plus saisir le point que nous ne pouvons mettre un terme à une opération infinie.

DE l’attribut de CONTINUITÉ.

Mais si nous prenons une longueur toute faite, c’est-à-dire quelque chose qui est le résultat même de cetle opération pratiquée avec le point, nous échappons ainsi à toutes les difficultés matérielles de l’exécution, sans porter aucune atteinte ni à la clarté ni à l’intégralité de nos conceptions. Nous avons alors quelque chose qui se trouve naturellement être l’intégration

de Jdx, faite depuis zéro jusqu’à la longueur même qu’il nous

aura convenu de choisir, et, avec cet outil entre les mains, nous reproduirons, ainsi que nous l’avons expliqué, toutes les longueurs possibles depuis les plus grandes jusqu’aux plus petites. D’un autre côté, si la génération intellectuelle /da; de lu longueur se trouve pratiquement réalisée par une longueur X, ce que nous pourrions représenter ^a.vj'^dx, ceci va

devenir désormais l’équivalent de notre module, de sorte que tout ce que nous avons dit des modules et des longueurs qu’ils peuvent représenter comportera, sous la désignation X, les conceptions d’inûni et de point auxquelles nous sommes naturellement conduit par l’étude du principe de la continuité . Par conséquent si, à l’inverse, dans les recherches que nous pourrons nous proposer de faire sur les longueurs, les considérations d’opérations en nombre infini ou d’une longueur infiniment petite viennent se présenter et s’imposer à nous, nous saurons que l’une et l’autre de ces choses se trouvent déjà dans le module, et nous n’aurons plus à exercer de pression sur notre intelligence pour lui demander des justifications ou des explications que la nature nous offre elle-même.

A ne considérer que l’expression Jdx m elle-même, il ne faut pas y voir une détermination particulière des longueurs, elle est uniquement la représentation symbolique de la formation de toutes les longueurs par le point, elle veut dire seulement que, dans l’ordre naturel, les choses sont tellement constituées que la répétition infinie du point conduit à la conception de la longueur, et qu’il est impossible d’en admettre une quelconque, même la plus petite, sans qu’elle soit le résultat d’une infinité de répétitions. Or, je conçois sans difficulté que cette infinité de répétitions une fois faite pouf produire une certaine longueur doit être ensuite reproduite une fois, deux